Entier naturel

votre réussite ! Bac S de maths 2009 - Asie Corrigé de l’exercice 3 2. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 2 et pour tout entier naturel n, par un+1 = g (un). a. En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel n; 1 2 6 un 6 un+1 6 1. La propriété à montrer pour tout entier naturel n est Pn : « 1 2 6 un 6 un+1 6 1». Initialisation On a u0 = 1 2 et u1 = g(u0) = g  1 2   0; 54, donc on a : 1 2 6 u0 6 u1

 Exercice 1 (6 points) Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite a) b) c) d) e) f) g) +.... Exercice 2 (4 points) Soit la suite définie par et , pour tout entier naturel n, choisir UNE méthode AU CHOIX méthode 1 a) Démontrer que pour tout  ; b) Démontrer que la suite est croissante. c) En déduire que la suite est convergente puis déterminer sa limite. ou Méthode 2 Soit la suite définie par a) Montrer

l’enseignement de spécialité On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 = entier naturel n : zn+1 = (1 + i)zn . 3−i et pour tout Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. 1. Calculer u0 . 2. Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison terme 2. 2 et de premier 3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (un ). 5. Étant donné

Rappels sur les entiers naturels Les nombres décimaux Comparaison des nombres décimaux Segments, longueurs et milieux Le cercle Report de longueurs et périmètres Constructions 3. THEME DE CONVERGENCE 4. ADDITION, I. 1. 2. 3. 4. 5. II. 1. 2. III. 7. LES SOUSTRACTION ET MULTIPLICATION DES DECIMAUX 13 DEMI-DROITES, POSITION 13 13 13 13 14 14 15 15 15 16 RELATIVE DE EUCLIDIENNE ANGLES 2 DROITES 17 17 17 18 18 18 19 20 21 23 Multiples et diviseurs d’un nombre entier naturel Reconnaître un

toutes les disciplines mathématiques en une seule théorie et munie d'un ensemble de règles et d'axiomes pour les prouver. Il existe des ensembles infinis de tailles différentes, par exemple, Cantor démontre qu'il existe plus de nombre réel que de naturels. Il s'intéresse également aux relations qui lient ces ensembles, principalement les correspondances un pour un (bijections), qui occupent une place importante dans sa théorie. Ce concept lui permet de définir les ensembles finis et infinis.

\lim_{x »a} f(x) = l Suite croissante non majorée : La suite Un n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que UN > M Puisque la suite UN est croissante, alors il existe un entier naturel n ž N tel que Un ž UN Par conséquent, quelque soit l'entier naturel n ž N : Un žM Donc, pour tout réel M > il existe un entier N tel que : quelque soit nžN, Un > M Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers + ¸ de Un est + ¸ . Formule d'intégration par

..............................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45 3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47 A. Des algorithmes ..................................................

l'inégalité (1), démontrer que pour tout réel x < 1, e x £ . 1- x 2) Un encadrement du nombre e n désigne un entier naturel non nul. æ 1ö a) Déduire de l'inégalité (1) que ç 1 + ÷ £ e . è nø æ 1ö b) Déduire de l'inégalité (2) que e £ ç 1 + ÷ è nø 3) Une suite qui converge vers e æ 1ö (un) est la suite définie pour tout entier n > 0 par un = ç1 + ÷ . è nø 3 a) Démontrer que pour tout entier n  1, 0  e – un  . n b) En déduire que la suite (un) converge vers e. Montrer qu’il en est de même de la suite

Soit (un)n∈N une suite réelle. • La suite (un)n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un. La suite (un)n∈N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 6 un. • La suite (un)n∈N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un. La suite (un)n∈N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un. • La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n∈N est croissante

cad un +1 ≥ 2 : donc P(n+1) est vraie. 2 2 Ainsi, cette proposition est héréditaire. Principe raisonnement par récurrence. (1) (2) (3) Soit P(n) une proposition qui dépend de l’entier naturel n. Si la proposition P(n) est vraie pour l’entier n0. Si la proposition P(n) est héréditaire. Alors, pour tout entier n ≥ n0 , la proposition P(n) est vraie. Exemple avec corrigé détaillé. 1  un +1 = un + 1 Reprenons la suite de l’activité d’introduction  . Nous avons émis la conjecture que 2 u0