Entier relatif

SUJET 1 SUJET NATIONAL, JUIN 2011 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e−x . On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3 . 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 1. a) Déterminer

d’Euler. a e Chapitre 1 Les nombres r´els et complexes e 1.1 Nombres rationnels On d´signe par N l’ensemble des entiers naturels e N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels non a nuls. ´ Etant donn´ deux entiers naturels x et y on sait d´finir les nombres e e x + y, x − y, x · y et x , si y = 0. y On remarque que l’addition

continue sur [ a ; b ]. Cette fonction n’est pas continue sur [ a ; b ]. 2° Exemple de fonction non continue : la fonction partie entière La partie entière de x, notée E(x), est définie de la façon suivante : Si x ∈ [ n; n + 1 [ avec n entier relatif , alors E(x) = n . Représentation graphique : y La fonction E(x) est continue sur l’intervalle [ 0 , 1 [ mais n’est pas continue sur l’intervalle [ 0 , 2 [. 1 O 1 2 x 3° Propriété des valeurs intermédiaires a - Théorème des

39 6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chapitre 1 Propriétés des nombres réels 1.1 Sous-ensembles remarquables de R Dans la suite, on note N = {entiers positifs} = {0, 1, 2, . . .} Z = {entiers relatifs} = N ∪ (−N) p Q = {nombres rationnels} = { ; p ∈ Z, q ∈ N∗ } q R = {nombres réels} 1.2 Relations d’ordre Définition 1. Soient E, F deux ensembles non vides. Une relation binaire R de E vers F est définie par

consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent certainement des fautes de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2 = a2 + 2ab +

Exemple 1.1.1 On a {x ∈ Z; x2 = 1} = {−1, +1} ⊂ Z. D’autre part, 2 ∈ N par contre {2} ⊂ N. Comme Z ⊂ R et Z = R alors Z R. x Certains ensembles de r´f´rence sont form´s par construction ` partir de l’ensemble des ee e a entiers naturels N : • L’ensemble Z, des entiers relatifs, est construit pour r´soudre les ´quations de la e e forme x + a = b, (a, b) ∈ N2 et a > b. • La consid´ration de l’´quation ax = b, a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels

hypothèse, on a uk +1 = k +2 k +2 1 1+ uk 1 + proposition est héréditaire. k +1 k +1 1 . Finalement, pour tout entier n ≥ 0, un = n +1 Exercice 3 Vérifions que la proposition est vraie pour les premières valeurs de n : N 32n − 2n 0 0 7 77 721 1 2 3 32n − 2n 7 0 1 11 103 On suppose que pour un entier k quelconque 32k − 2k est un multiple de 7 autrement dit 32k − 2k = 7A où A est un entier. Montrons sous cette hypothèse que 32(k +1) − 2k +1 est lui aussi un multiple de 7. Comme 32k − 2k = 7A ,

affine est dérivable sur R de dérivée f ′ (x) = a. D’où les tableaux de variation suivants : a>0 x signe de f ′ (x) variations de f signe de f −∞ − 0 + −∞ b −a a 0, ln′ (x) = Propriété 1 Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : o ln(ab) = ln(a) + ln(b). 1 o ln = − ln(a). a a o ln = ln(a) − ln(b). b o ln(an ) = n ln(a). √ 1 o ln ( a) = ln(a). 2 1 . x En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients

définie sur ] 0 ; +∞ [ x qui s’annule en 1. Conséquences directes : • ln(1) = 0, • la fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et pour tout x > 0, ln′ (x) = 1 . x Propriété 1 Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : ♦ ln(ab) = ln(a) + ln(b). 1 ♦ ln = − ln(a). a a ♦ ln = ln(a) − ln(b). b ♦ ln(an ) = n ln(a). √ 1 ♦ ln ( a) = ln(a). 2 En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences

1 ( x )′ = n.x n n−1 avec n entier naturel 1 n : voir cours 1.2.2 Dérivée de f ( x) = x avec n entier naturel 1 n Considérons l’expression réciproque de y = x qui est x = yn . dx = ny n −1 dy La dérivée de cette fonction en notation différentielle est : dy 1 1 1 1 1 1 1 −1 = = = n −1 = ⋅ 1 = ⋅ x n Il vient donc : f '( x) = dx dx ny n −1 n 1− n n nx n x dy 1.2.3 Dérivée de f ( x) = x p q avec p, q entiers naturels 1 1 p −1 p ' p ' p −1 p −1