Entier relatif

25 B. Corrigé 1. a) 10 –1 –1 1 0 10 1 10 2 2 10 3 3 23 b) log ( 2 ) ≈ 0,3 ; log ( 3 ) ≈ 0,47 ; log ( 4 ) ≈ 0,6 ; log ( 5 ) ≈ 0,7 ; 1 0 2 lo g( 2) 3 lo g( 3) 4 lo g( 4) 5 6 7 8 9 10 1 20 1 c) Pour tout entier relatif n et tout entier naturel p : log ( p × 10 n ) – log ( 10 n ) = log ( p ) + log ( 10 n ) – log ( 10 n ) = log ( p ). d) Ainsi, log ( 20 ) = log ( 2 × 10 1 ) = log ( 2 ) + log ( 10 1 ) = log ( 2 ) + 1 . log ( 30 ) = log ( 3 ) + 1 ; … ; log ( 90 ) = log (

appartenant a au moins e ` l’un des Ai (resp. appartenant a tous les Ai ) : l’ordre d’indexation des Ai n’a pas d’importance. Les ensembles suivants seront utilis´ s sans cesse : e I = ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, ... N I ∗ = ensemble des entiers naturels non nuls : 1, 2, ... N Z = ensemble des entiers relatifs : ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... Z Q = ensemble des rationnels Q I = ensemble des r´ els = ] − ∞, ∞[ R e d I = espace euclidien r´ el de dimension d (donc I 1 = I R e R R) ¯ I¯ = [−∞, ∞] R I +

Correction Ex 2, 4, 6, 10 TD STRUCTURES MULTIPLICATIVES Exercice n°2 : 1) La liste des nombres considérée est 38 ; 38 + 17 ; 38 + 27 ; ……; 38 + k7 (avec k entier naturel) ; … Or 38 + 7k  365, d'où 7k  327, et donc k  46,7…… La plus grande valeur pour k est donc 46, et le plus grand nombre de la liste est donc 38 + (746) = 360. De 38 + (70) à 38 + (746), il y a 47 nombres (k prend les valeurs 0 , 1 , 2 , ……, , 46). 2) 38 + (746) = 360, 38 + (747) = 367 donc tant que l'on choisit

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer

Montrer par récurrence sur n , que 5 4 n − 1 est divisible par 13 b – En déduire que : 5 4 n +1 − 5 , 5 4 n + 2 − 12 et 5 4 n + 3 − 8 est divisible par 13. c – Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre 5 2011 . 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre A p défini par : A p = 5 2 p + 5 4 p a – Si p = 2 n , quel est le reste de la division de A p par 13. b – Démontrer que, si p = 2 n + 1 , A p est divisible par 13. 4) On considère la suite (U n )n ≥ 2 définie par :

Exercices révision Exercice 1 Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y. S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y −x. 1. a. Calculer le PGCD(363, 484). b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ? 2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 3. a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y −x) et y = (k +1)(y −x). b. En déduire

n’existe pas d’entier x, y, z tels que x 2 +y 2 +z 2 ≡ 7 modulo 8. Partie B Étude du cas général où n 3 Exemple : si m = 8n + 3 alors m 2 = 64n 2 + 48n + 9 = 64n 2 + 48n + 8 + 1 = 8 × n 2 + 6n + 1 + 1 ⇐⇒ m 2 ≡ 1 modulo 8. 1. S’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x 2 + y 2 + z 2 ≡ 2n − 1 modulo 2n alors x 2 + y 2 + z 2 = 2n q + 2n − 1 = 2n (q + 1) − 1, donc cette somme est impaire. Donc : – aucun des trois n’est pair ; – il ne peut y avoir un pair et deux impairs car la somme des

suite exercice 4 v1 = (u1-2)/(u1+2) v1 = (3-2)/(3+2) v1 = 1/5 v2 = (u2-2)/(u2+2) v2 = ((11/7)-2)/((11/7)+2) v2 = (-(3/7))/(25/7) v2 = -21/175 v2 = -3/25 b) pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité vn+1 = q vn et si vn est non nul quelque soit n,  il suffit de prouver que : vn+1/vn = q ou q est un réel constant. V0/v1 = q -(1/3)/(1/5) = q -(5/3) = q v1/v2 = q (1/5)/-(3/25) = q -(25/15) = q -(5/3) = q vn est

A −1 −2 Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. u0 = 2 Soit (un ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : un+1 = f (un ) 1. Pour tout nombre entier naturel n, 2 un β. Démonstration par réccurence : • On a 2 u0 = 2 β • Supposons que, pour un n donné, on ait : 2 un β, alors, la fonction f étant croissante sur [2; β] : 2 • Ainsi, ∀n, n ∈ un un β =⇒ 2 β. 2, 09861228867

tout entier naturel n. 2 9 − 6U n +U n (U n − 3)2 9 −U n = = . 6 −U n 6 −U n 6 −U n On vient de démontrer que U n < 3 < 6, donc le dénominateur est positif et le numérateur (carré) aussi. On a donc U n+1 −U n > 0 ⇐⇒ U n+1 > U n : la suite est croissante (strictement). b. On a U n+1 −U n = f (U n ) −U n = c. La suite (U n ) est croissante et majorée par 3 : elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. Baccalauréat S 3. Soit la suite définie par Vn = 1 pour tout entier naturel