Entier relatif

utiliser une calculatrice et sa touche RANDOM ou un tableur. ■ 8 1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ? On distingue plusieurs ensembles de nombres. est l’ensemble des nombres entiers naturels ; = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}. est l’ensemble des nombres entiers relatifs ; = {… ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}. est l’ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la a forme ------- avec a ∈ et n ∈ ; ces nombres n 10 ont un nombre fini

Soit A =  2 1 2 . Pour n entier relatif donné, calculer An par trois méthodes différentes. 2 2 1 Correction [005651] Exercice 2 **  3 0 0 Résoudre dans M3 (R) l’équation X 2 = A où A =  8 4 0 . 5 0 1 Correction [005652]  Exercice 3 **   3 1 0 Soit A =  −4 −1 0 . 4 8 −2 1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable. 2. Déterminer Ker(A − I)2 .  a 0 0 3. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme  0 b c  0 0 b  4. Calculer An pour n entier naturel donné. Correction

Chapitre I – Ensembles de nombres Activités, exercices Activité 1 : Ensembles remarquables de réels 1. Ensemble de nombres Compléter les phrases suivantes :  N est l’ensemble des entiers naturels (ex : 0 ; 1 ; 2 ; …)  Z est l’ensemble des entiers relatifs (ex : –1 ; –3 ; 2 ; 0 …)  D est l’ensemble des nombres décimaux (ex : 2,3 ; 4,35 ; 3 ; –1 ; 0 ; 2 …) 2 1  Q est l’ensemble des nombres rationnels (ex : 2 ; –3 ; 4,5 ; –2,3 ; …) 3  R est l’ensemble des nombres réels (tous les nombres connus)

tout réel b, expb= 1 exp b . On remplace a par -b dans la formule caractéristique. Quels que soient les réels a et b, exp ab= expa expb On remplace b par -b dans la formule caractéristique. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, exp na=expan . Pour n > 0, on remplace na par a + a + a + ... + a et on applique la formule caractéristique. Pour n < 0, on pose p=-n et on revient dans le cas précédent. Pour tout réel a, exp(a) > 0. Il suffit de remarquer que

les points de l’ensemble. Si x est un point d’un ensemble A, on écrit x ∈ A et on lit x appartient à A. Si x n’est pas un point de A, on écrit x ∈ A. Un ensemble peut être fini ou non, peut être concrêt ou imaginaire. Exemples −0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est noté N. − L’ensemble des couleurs de l’arc-en-ciel. − L’ensemble des étudiants de l’université de Cocody inscrits pour cette année universitaire : − a,b,c,...,z sont lettres de l’alphabet français. Notations -

Chapitre 1 Divisibilité dans  1.  Page d’ouverture • Problème 2 Soit n le nombre choisi par Coraline. n s’écrit ab en écriture décimale, où a et b sont des nombres entiers naturels compris entre 0 et 9. Si a  b : ( a + b ) + ab + a - b = 35, donc a(2 + b ) = 35. a et 2 + b sont diviseurs de 35. Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. • a = 1 et b = 33 : impossible. • a = 5 et b = 5 : convient. • a = 7 et b = 3 : convient. • a = 35 et b = -1 : impossible. Si a 

............................................................................. 3 Chapitre I : Calcul algébrique (rappels) .......................................................................................................... 4 Chapitre II : Entiers : arithmétique ................................................................................................................... 6 Chapitre III : Développements - factorisations - identités remarquables.........................................

CHAPITRE 2 SÉQUENCE PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss  1 PGCD de deux entiers naturels (page 40) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES d) Problème 1 A B Q R 1. 945 = 882 + 63 et 882 = 63 × 14. 945 882 1 63 Donc PGCD (945 ; 882) = 63 car d doit diviser 945 et 882 et la plus grande valeur de d est le PGCD des deux nombres. 882 63 14 0 « Tant que », le reste R est nul. On obtient à l’affichage la valeur commune A. • Si A  B, le premier

plus u n  v n à partir d’un certain rang n 2 . Posons n 0  max n 1 ; n 2 alors pour tout entier naturel n  n 0 , on a u n  I c’est à dire A  u n et u n  v n donc A  v n . Donc l’intervalle I contient tous les termes de la suite v n  à partir d’un certain rang n 0 donc n lim v n  . ROC 2 (au programme) Théorème Si la suite u n  est croissante et converge vers un réel L alors, pour tout entier naturel n, u n  L. Prérequis Soit u n  une suite On dit que la suite u n  converge vers

un encadrement de sa largeur puis de son aire. 6 Deux nombres a et b v´rifient les e conditions : a+b=1 et a2 + b 2 = 2 a) Calculer la valeur du r´el ab. e Ecrire sous forme d’intervalles (x ∈ ... ) : −5 < x ≤ 2 x≥ 3 2 a et b sont-ils des entiers relatifs ? √ 1+ 3 et b) V´rifier que les deux r´els a = e e 2 √ 1− 3 b= v´rifient les conditions impos´es. e e 2 c) Utiliser la calculatrice pour donner les arrondis, not´s a′ et b′ ` 10−5 de a et de b. e a d) L’arrondi ` 10−5 pr`s de a2 + b2 est-il ´gale