Équation de Laplace

simplificatrices. La comparaison du modèle avec la réalité permettra de valider ou non les hypothèses proposées. Pour modéliser un SLCI, il est nécessaire de déterminer une équation reliant l'entrée e(t) (ou les entrées) et la sortie s(t). Un modèle de connaissance établi à partir de lois physiques permet d'aboutir généralement à une telle équation. a) Les systèmes simples La grande majorité des systèmes peuvent être modélisés par une constante, c'est à dire une relation de proportionnalité directe entre l'entrée

Equations de Maxwell Equations de Maxwell 1 Opérateurs différentiels 1.1 Le gradient 1.1.1 Définition Définition : Le gradient permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ scalaire. En coordonnées cartésiennes, il est donné par :  m   m   m  grad  m    uy    ux    uz  x   z   y  (1) Interprétation physique : Le vecteur grad  m  est normal aux surfaces de niveau (m = constante). Il est dirigé vers les valeurs croissantes de m. 1.1.2 Champ de gradient

ANNEXE I TRANSFORMEE DE LAPLACE Pierre-Simon Laplace, mathématicien français (1749-1827). Laplace entra à l’université de Caen a 16 ans. Très vite il s’intéressa aux mathématiques et fut remarqué par d’Alembert. En analyse, il introduisit la fonction potentielle et les coefficients de Laplace. Il travailla également beaucoup sur les équations aux différences et sur les équations différentielles. Contrairement aux apparences, l’utilisation de la transformée de Laplace pour la résolution d’équations

Utilisation de la transformée de Laplace Exercice 1 : Réponse à un échelon d’un circuit LC i(t) vE(t) Soit le circuit ci-contre. Les conditions initiales sont nulles : vS(0) = 0V et i(0) = 0A L C vS(t) Expression de V S (p) à partir d’une équation différentielle 1. Rappeler les relations reliant tension et courant pour une inductance et un condensateur dans le cas d’un régime quelconque. 2. Calculer l’équation différentielle exprimant la tension vS(t) en fonction de vE(t) et

11/36 Laplace  Mathématicien Français (1749 – 1827)  Transformée de Laplace : – Variable temporelle t  variable fréquentielle s – De nombreuses propriétés, on retient :  Dérivée,  Intégrale,  Limite,  Association. 12/36 Laplace Sn GMP2 13/29 Laplace  Signaux : impulsion, échelon, rampe – Impulsion : a(t)  a – Échelon : a   Unitaire a si a=1 – Rampe : at  – Générale : tn  14/36 Laplace  Limite GMP2 15/29 A retenir  Transformé – – de Laplace : dérivée

de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original de f(p), soit F(t), l’ t original de f(p)/p est : ó ô F ( u) du õ0 2 α× Équation différentielle

de SLCI ……………………………………………………………………………….14 4. Résolution des équations différentielles ……………………………………………………………....15 5. Transformée de Laplace : ………………………………………………………………………...……15 5.1. Définition …………………………………………………………………………………………....15 5.2. Propriétés et théorèmes : ……………………………………………………………………….……15 6. Fonction de Transfert…..….……………………...……………………………………………………16 6.1. Définition …………………………………………………………………………………………....16 6.2. Equation caractéristique : …………………………………………………………………...……….17 6.3. Théorème……

. . . . . . . . . . . . . 32 3 Equations différentielles 33 3.1 Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Equations à variable sépare et séparable . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Equations homogènes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Equations se ramenant aux équations homogènes . . . . . . . . . 38 3.1.4 Equations linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.5 Equations aux différentielles totales .

des Constantes déterminées par les conditions initiales du problème x(0) et x0 La Solution de cette équation est souvent mise sous la forme x(t) = X sin(ω0t +ϕ) = Xei(ω0t +ϕ) X = A2 + B 2 Avec A ϕ = Arctg ( ) B X = Amplitude de vibration= l’élongation maximale du Ressort. ϕ = Angle de déphasage X est atteint pour 2n +1 sin(ωt +ϕ) = 1 ⇔ωnt +ϕ = π 2 n = 0,1,2,..... Remarque: Les équations obtenues ci dessus décrivent le mouvement de beaucoup d’autres systèmes autres que « m+k » Conditions

TRANSFORMEE DE LAPLACE Chapitre1: La transformée de Laplace L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Définition de la transformée de Laplace Soit f (t ) une fonction réelle, de la variable temps (t ) , définie pour t > 0, f (t ) = 0 pour t < 0 . La transformée de Laplace F (p) , image, de f (t ) est définie par: F (p ) = ∫ ∞ 0+ e −pt f (t ).dt (1.1) p étant une variable complexe (p = σ + jw ) , σ, w sont des variables réelles et j 2 = −1 . Notation: La transformée de Laplace F (p)