Équation de Laplace

est le support du cours consacr´ a la dynamique des corps rigides et e` des corps d´ formables. Ce cours se d´ compose en 4 grandes parties compl´ t´ es par des e e ee annexes consacr´ es aux rappels sur la m´ canique g´ n´ rale, la transform´ e de Laplace, e e e e e et le calcul des variations. Dans la partie 1, apr` s une introduction de la dynamique des corps, l’exemple le e ´ plus simple de syst` me m´ canique sera etudi´ . A travers cet oscillateur el´ mentaire, e e e ´ ´e ´ les grands types de

pur, isothermes d’Andrews et théorème des moments D1 C4. Énergie interne et premier principe C5. Transfert thermique au cours d’une transformation monobare (resp. isochore) ∆H = Q (resp. ∆U = Q ) D C6. Calorimétrie, méthode des mélanges C7. Loi de Laplace D C8. Détente de Joule Gay Lussac D C9. Calculs Q et W pour un GP subissant une transformation isotherme, isochore, adiabatique, isobare C10. Relation de Mayer pour GP, CV , m et CP , m en fonction de R et γ D C11. Identités thermodynamiques D C12

1, b(x) = - a, c(x) = 0 pour tout x. et se résout facilement si l'on en connaît une solution particulière. En effet, soit y o une solution de (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient : a(x).Y' + b(x).Y = 0 (h) Une telle équation est dite sans second membre ou, parfois, homogène : le second membre est nul. Un point important : on peut supposer maintenant que x a(x) ne s'annule pas sur tout un sous-intervalle J' de J : l'équation ne serait plus différentielle sur J'...

comportement dynamique global du système, il est nécessaire de prendre en compte l’effort résistant exercé par le coulisseau à cannelures hélicoïdales sur le piston du vérin, grandeur physique correspondant à une perturbation. On admettra que les équations simplifiées traduisant le comportement du vérin en prenant en compte la compressibilité du fluide sont (les fuites ne sont pas introduites dans cette modélisation, leur influence sur le comportement ne sera abordée que dans la partie suivante)

.....................................................- 4 LES EQUATIONS LOCALES DE L’ELECTROSTATIQUE ....................................................................- 12 LES CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE ............................................................. - 28 LES EQUATIONS LOCALES DE LA MAGNETOSTATIQUE .............................................................. - 36 EFFET HALL - TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE ............................................................

´ UFR DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE Maˆ ıtrise d’Ing´nierie Math´matique e e ´ EQUATIONS AUX ´ ´ DERIVEES PARTIELLES Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr Table des mati`res e 1 Introduction 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Notions de solution . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d’´quations aux d´riv´es partielles e e e 1.3.1 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Biologie. Dynamique des populations 1.3.3 Traitement des images

dire la poursuite par la sortie d’une consigne vaa riable dans le temps la r´gulation c’est ` dire la compensation de l’effet de perturbations vae a riables sur la sortie (la consigne restant fixe) 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Chapitre 2 Equations d’un syst`me e lin´aire e Dans toute la suite du cours, les syst`mes consid´r´s n’auront qu’une e ee entr´e et qu’une sortie. e 2.1 Introduction Un syst`me est dit lin´aire si l’´quation liant la sortie ` l’entr´e est une e e e a e ´quation

5 0 otherwise vk v k := 0 1 if k 0 −1 5 −5 0 k 5 5 Delta à TD 2.8. k := −5 .. 5 v k := δ( k , 0) ou encore 0 otherwise Calcul symbolique Transformée de Laplace d’une fonction (échelon) G( s ) := g ( t) laplace , t → 1 s g ( t) := Φ ( t) Transformée de Laplace inverse h ( t) := G( s ) invlaplace , s → 1 (h(t) est implicitement causale) TR 2. 6 Signaux & systèmes 2.9. Programmation 2. Tutorial Mathcad A l’intérieur d’un programme,

proportionnelle à la vitesse ! (t ) . Du coté mécanique, nous représentons la machine à courant continu par l’inertie de l’induit augmentée de celui de la charge entraînée. 4.1.1 Equations de la machine à courant continu Notons d’abord que dans notre modélisation nous allons utiliser le moteur à courant continu afin d’établir les équations et ce qui s’en suit. Du fait que, par des changements de connexions entre l’induit et l’inducteur on aboutit aux autres types de MCC (par rapport à l’excitation) et que

pr´e-requis concernent des aspects math´ematiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul int´egral et les s´eries, la transform´ee de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst`emes lin´eaires a` temps continu. Partant de proc´ed´es physiques mod´elis´ees par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous aborderons successivement la mod´elisation de syst`emes discrets et e´ chantillonn´es, leur analyse et pour finir la synth`ese de lois de commande