Équation de Laplace

Ú¼ · Cette équation est de la forme : ½ Ê Ú ¼ ܼ · Ü D’après le formulaire : ½ ´ ¼ ½ avec ½ Ê Ê De plus, d’où ´Øµ Ø Ê ÐÑ et donc ܴص ¼   ÊØ si Ø ¼ Ø ¼  Ú ´Øµ ¼ · donc la solution cherchée est : 2. La fonction Ú ´Øµ ¼ si Ø ¼ est constante sur l’intervalle ½ donc : ¼ Ø et l’équation différentielle ´ ½µ ´Øµ ¼ ´Øµ Ú¼ · si Ø ¼ est encore : ½ Ê Ú ¼ Cette équation est de la forme

d’un gaz parfait monoatomique • H : enthalpie en Joules Enthalpie d’un gaz parfait diatomique Loi de Mayer • R : en . Coefficient gamma d’un gaz • : sans unité • n : en mol Lois de Laplace • Valable pour un gaz parfait à constant subissant une transformation adiabatique et mécaniquement réversible Second principe de la thermodynamique • S : entropie en Physique – Formulaire – Etude des

des procédés industriels : Système réel Commande optimale et Commande prédictive Problème du contrôle optimal en continu et discret Indice de Performance Principe de Pontryagin Problème LQR (linear quadratic regulator) Approche de Hamilton-Jacobi Equation matricielle de Riccati, Commande à Horizon fini et infini. Commande prédictive sous contraintes. Etude de cas : Commande d’un échangeur thermique sous Matlab. Travaux pratiques : TP1 : Elaboration d’une commande LQR TP2 : Contrôle optimale d’un

Analyse/conception de filtres Deuxième situation rencontrée : • On définit un cahier des charges (gabarit) précisant le type de filtrage à réaliser : valeurs des fréquences de coupure, etc et on souhaite déterminer le filtre : son ordre et son équation è Conception de filtres • Exemple : déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas qui satisfait au gabarit ci-dessous : TNS H. Garnier6 Signal du jour Source : GISTEMP Team, 2019: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP), version 4

L'aiguille n'était ni attirée vers le fil ni repoussée. En effet, elle tendait à rester à angle droit. A la fin il publia ses recherches sans aucune explication. 2. 1820 La force de Laplace. Le physicien Pierre Laplace établit la force qu'exerce un champ magnétique sur une charge en mouvement. La force de Laplace agit donc sur un ensemble de charges mobiles, c'est-à-dire un courant. Exercée sur un conducteur de longueur dl parcouru par un courant d’intensité I et placé dans un champ magnétique

des matières 1 Nombres complexes 1.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . 1.1.1 Définition et règles de calcul dans C . . . . 1.1.2 La fonction arc tangente . . . . . . . . . . 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . . . 2.2 Somme de matrices . . . . . . . . . 2.3 Multiplication par un élément de K 2.4 Produit de matrices

(Dirac) ? c) Quelle est la valeur finale de sortie du système pour une entrée échelon ? Exercice n°2 : Donner la transformé de Laplace X(p) de la solution x(t) à l’équation différentielle suivante (on ne cherchera pas à résoudre cette équation). 5⋅ dx(t ) + x(t ) = 4te − 2t + 1 , conditions initiales x(0) = -8. dt Exercice n°3 : Inverser (transformée de Laplace inverse) la fonction de transfert suivante : p −1 F ( p) = p ( p + 1) 2 Exercice n°4 : On considère le système de fonction de transfert

I. Généralités I.1. Définitions I.2. Commande d’un système I.3. Performances d’un asservissement II. Représentation par les équations différentielles II.1. Solution de l'ESSM II.2. Solution particulière II.3. Conclusion III. Représentation externe IV.1. Transformation de Laplace IV.1.1. Calcul de la transformée inverse IV.1.2. Quelques propriétés de la transformée de Laplace IV.2. Représentation externe IV.2.1. Définition IV.2..2. Forme standard d’une fonction de transfert IV. Schéma fonctionnel et

- non-visqueux : pas de perte d’énergie - incompressible : densité unique - irrotationnel : pas de tourbillon 6. Equation de continuité • Pipe-line : ∆x2 v2 ∆x1 v1 tranches de fluide : ∆x1 = v1 ∆t m1 = ρA∆x1 ∆x2 = v2 ∆t m2 = ρA∆x2 fluide incompressible : m1 = m2 A1 v1 = A2 v2 • Débit : Av = Q L’équation de continuité est donc une équation de conservation du débit. • Exemples : - bouchons la vitesse augmente dans le rétrécissement ! - seringues

Trigger de Schmitt : comparateur à Hystérésis 112 4.7.2. Multivibrateur 114 4.7.3. Oscillateur à AOP 117 4.8. APPLICATION DES AOP A LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLS 119 5. FILTRES 121 5.1. THEOREME DE FOURRIER 121 5.1.1. Cas particuliers 122 5.1.2. Exemples de décomposition 122 5.2. TRANSFORMEE DE LAPLACE (TTP) 125 5.2.1. Propriété de la T.P 125 5.3. APPLICATIONS : FILTRES ET ANALYSE DES CIRCUITS 126 5.3.1. L’application de la T.L à l’analyse des circuits