Équation différentielle linéaire d'ordre deux

complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes et géométrie

4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦ Exercice 2 Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale de AB est ∑ j aij b ji . En sommant sur i, on obtient tr(AB) = ∑i ∑i aij b ji . Le j-ième élément de la diagonale de BA est ∑ j b ji aij

moyenne et efficace Série de Fourier Intégrale de Fourier Exemples © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 2 • COMPOSANTS PASSIFS, IMPÉDANCES ET ADMITTANCES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Résistances linéaires Résistances à coefficient de température Varistances Condensateurs Inductances, transformateurs Impédances et admittances complexes Groupements série et parallèle Coefficient de qualité Adaptation d’impédances 7 7 9 10 11 13 17

dont les réactions chimiques procèdent (mécanisme) et de leur vitesse. Deux motivations principales pour étudier la cinétique : - prédire les facteurs qui peuvent influer sur la vitesse : température, pression, concentrations, présence d’un catalyseur…. - Relier la vitesse au « mécanisme » : une réaction dont nous écrivons l’équation stoechiométrique de manière globale, est en fait une succession de réactions élémentaires. Ces deux motivations relèvent de la cinétique proprement dite. A un niveau encore

c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Espaces vectoriels et applications linéaires Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés sont en réalité vrais pour un corps K quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries. La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir

......................................................................... 113 A.2.2 : EFFICACITE DES AILETTES ........................................................................................................................ 114 A.2.3 : EQUATIONS ET FONCTIONS DE BESSEL ..................................................................................................... 115 A.3.1 : PRINCIPALES TRANSFORMATIONS INTEGRALES : LAPLACE, FOURIER, HANKEL ....................................... 117

......................................................................... 113 A.2.2 : EFFICACITE DES AILETTES ........................................................................................................................ 114 A.2.3 : EQUATIONS ET FONCTIONS DE BESSEL ..................................................................................................... 115 A.3.1 : PRINCIPALES TRANSFORMATIONS INTEGRALES : LAPLACE, FOURIER, HANKEL ....................................... 117

et à l'explication de celle-ci au travers de la décomposition de l'effet-prix (première partie), puis à la détermination de deux types d'indicateurs, essentiels en économie : des élasticités et des indices (deuxième partie). Notre présentation de ces notions importantes s'appuie sur une application très simple. DONNÉES DE L'APPLICATION : • Soit un consommateur et deux biens X et Y. • Fonction d'utilité du consommateur : U = x + y + xy, avec x la quantité du bien X et y la quantité du bien

de Théorie et Guide des travaux pratiques Statistiques SOMMAIRE Présentation du module 9 RESUME DE THEORIE 10 Chapitre I- Les statistiques descriptives : 11 Terminologie : 11 IITableaux statistiques : A- Cas d’une seule variable B- Cas de deux variables 12 12 13 IIIReprésentations graphiques : A- Variable qualitative B- Variable quantitative 1) Variable discrète 2) Variable classée 14 14 16 16 17 IVCaractéristiques de tendance centrale et de position : A- Mode B- Médiane C- Moyenne arithmétique

rattachent. Ainsi, on transforme un produit par une somme tel que : Note : Lorsque la base n’est pas indiquée, on prend pour acquis que celle-ci est 10. Par conséquent, si un calculateur du XVIIe siècle désire effectuer une multiplication de deux nombres, prenons par exemple 78 et 56, il n’a qu’à appliquer la loi des logarithmes ci-dessus pour simplifier ses calculs et à utiliser les tables des logarithmes de Napier. Ces tables indiquent les valeurs de nombreux logarithmes et il suffit pour