Équation quartique

’épaisseur équivalente 3) Application d ’un facteur de correction  E1  h e  f h1   E2  pour 2 = 1 f = 0,9 pour système bicouche 0,8 pour système multicouche 1,0 pour le premier interface d ’un multicouche 4) Application des équations de Boussinesq 1/ 3 1/ 3 Exemple q=0,7MPa a=150mm E1=2000MPa , h1=150mm r1 Enrobé bitumineux Fondation granulaire E2=300MPa , h2=500mm sz2 sol support E3=20MPa , h3=  =0,35 pour toutes les couches Solution

ei2 = (Yi − aX i − b) 2 ∑ par rapport a et b. Les dérivée partielles donnent: ∂ ∑ (et2 ) = -2 ˆ a ∑ [X (Y − aX ∂ ∑ (et2 ) = -2 ˆ b ∑ (Y − aX t t t t t − b) = 0 − b) = 0 (1) (2) Les équations (1) et (2) sot dites les équations normales des moindres carrées. Divisant l’équation (2) par n ( le nombre d’observations) : 7 Y − aX − b = 0 ⇒ b = Y − aX ˆ Remplaçant b par sa valeur dans l’équation (2) ∑ X tYt − a ∑ X t2 − ∑ X t (Y − aX ) = 0 a[∑

définissons les erruers comme i = |f (ti ) − bi | = |α + βti − bi | 1 alors le but est : trouver les valeurs de α et β qui minimisent m 2 i. E= i=1 Selon la théorie d’optimisation, la valeur minimale se trouve par la résolution des équations pour les points stationnaires, ∂E = 0. ∂β ∂E = 0, ∂α Nous calculons aisement, m (α + βti − bi ) = 0 (α + βti − bi ) ti = 2 0, i=1 m 2 i=1 qui peut être réecrit en termes des deux inconnus, m m m 1 α+

i 3. a) On considère le nombre complexe z = e 3 . Donner la forme exponentielle de z , − z , iz et 1 . z iπ b) Reprendre les mêmes questions pour z = 3 e 3 . c) Généraliser au cas où z = reiθ . III) Equations et solutions sous forme exponentielle 1. Résoudre dans C les équations suivantes et mettre les solutions sous forme exponentielle : a) z ² + 12 = 0 b) z ² − 2 2 z + 8 = 0 c) z 4 + 5 z 2 + 4 = 0 2. On considère l'équation (E) : z 3 + (2 + 2i ) z 2 + (2 + 4i ) z + 4i = 0 . a) Vérifier

Géométrie Chapitre 1 : Nombres complexes 1) Introduction L’objectif est l’introduction d’un nouvel ensemble de nombres (en fait on étend encore l’ensemble des nombres, au-delà des réels) pour résoudre une préoccupation importante. Certaines équations du second degré, comme par exemple , n’ont pas de solution dans . On introduit alors un nombre noté i tel que « i » pour « imaginaire » opposée à « réel » Les nombres complexes vont être obtenus comme toutes les sommes , lorsque et sont

NaOH diluée. 2 Discussion 4 Dosage HCl- NaOH 4 1. Calcul de la concentration molaire volumique (molarité) de HCl(aq) à partir du volume de NaOH(aq) ajouté au point équivalent. 4 2. La théorie du pH théorique 5 DOSAGE COKE - NaOH 5 1. Voici les 3 équations de la dissociation du H3PO4 : 5 2. Valeur du volume d’équivalence et du pH à ce point 5 3. Calcul de dilution du NaOH 5 4. Calcul du la concentration du HCl au premier point d’équivalence 6 5. Les pH aux points d’équivalence 7 6. Les Ka (1 et 2)

des parties B, C et D. Partie A (R´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle) 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1 ) : xy ′ − y = ln x, d´efinie sur R∗+ . (a) R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee. (b) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete. (c) Exprimer l’ensemble des solutions de l’´equation (E1 ). (d) Pr´eciser la solution f de l’´equation (E1 ) telle que f (1) = 0. 2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E2 ) : x2 y ′′ − xy ′ + y = 1 − ln x

chambre et un sur cinq un ordinateur. 60% des adolescents n’ont ni l’un ni l’autre dans leur chambre. En déduire le pourcentage d’adolescents qui ont les deux dans leur chambre ? (aide: diagramme de Venn) Exercice 3 (2,5 points) Résoudre les équations et inéquations suivantes: 2 1) x = 41 6) x (x+2)( x−1)=0 2 2) ( 2x− 3)( x − 5)= 0 3) 2 x + 5=3 x − 4 7) 3 x + 4≥ 5 x −1 8) 4) 4 6 = x −1 x+ 2 5) 2 x =−9 1 2 = x +5 3 1/3 2nde Nom : Prénom : Mardi 13 octobre 2014 Exercice 4

= 1 a . 0 = 0 Complémentarité a + = 1 a . = 0 Loi d’involution = a Théorème de Morgan =. =+ Absorption du multiple a + a . b = a Absorption de complément a + . b = a + b 1.2 Exercices d’application Simplifier par la méthode algébrique les équations suivantes Exercice 1 F1 = . b. + . b. c F1 = . b. + . b. c F1 = . b. ( + c ) F1 = . b. 1 F1 = . b Exercice 2 F2 = . . + . . c + a .b. + a . b. c F2 = . . + . . c + a .b. + a . b. c F2 = . . ( + c ) + a .b. ( + c) F2 = . . 1 + a

Montrer que l'on a f ◦ f = −f ; (b) trouver une base de ker f ; (c) soit (u1 , u2 , u3 ) une base de R3 dont les premiers vecteurs appartiennent à ker f et les derniers à Im f ; quelle est la matrice de f dans la base (u1 , u2 , u3 ) ? (d) Trouver une équation de Im f . 3 Exercice 16 Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice, dans la base canonique, est  1/2 0 −1/2 1/2  . M =  1/2 1 −1/2 0 1/2  1. Montrer que f est une projection. 2. Déterminer les invariants géométriques de f , c'est-à-dire