Espace de Hilbert

et forces ` travailler encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier

Dérivabilité : La preuve de la dérivabilité de la série et donc de u s'appuie sur un théorème d'analyse assez relevé que nous énoncons ici. Théorème 2.2 (Théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions) Soit I un intervalle et F un espace vectoriel normé de dimension nie. Si (un )n≥0 est une suite d'applications dénies sur I et à valeurs dans F vériant :  Chaque un est de classe C 1 sur I .  La série n≥0 un converge simplement sur I  La série n≥0 un converge uniformément sur

On a découvert, pourtant, dans les années 1960, que de tels systèmes peuvent être représentés géométriquement dans un espace dont la dimension dépend du nombre de paramètres inhérents au système, dimension qui n'a rien à voir avec les dimensions traditionnelles que nous utilisons. L'état du système est alors représenté à chaque instant par un point dans cet espace appelé "espace des phases". On obtient une courbe qui correspond à la trajectoire de ce point. On constate alors que ce point est attiré

mesur´es forment une tribu. D´ efinition 1 (Tribu ou σ-alg` ebre). Soit Ω un espace. On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Un ensemble A ⊂ P(Ω) est appel´e tribu ou σ-alg` ebre, s’il v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. φ ∈ A (contient l’ensemble vide) 2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A (stable par compl´ementaire) 3. (An )n≥1 ⊂ A =⇒ n≥1 An ∈ A (stable par union d´enombrable). 14 Le couple (Ω, A) est appel´e un espace mesurable. Exercices : 1. Soit A une tribu de Ω. Montrer que Ω ∈ A et que A est

Quelques nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7. Trois méthodes pour calculer π 2 /6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Géométrie 51 8. Le troisième problème de Hilbert : la décomposition des polyèdres 53 9. Droites du plan et décompositions de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10. Le problème des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11. Trois applications

parfois si elle a ´t´ e e ee accept´e par les experts. C’est quelque chose qui m’est arriv´ il y a quelques e e ann´es. e ` e A l’´poque, nous travaillions, ma coll`gue Mireille Martin-Deschamps16 et e moi-mˆme, sur un objet nomm´ sch´ma de Hilbert (peu importe ce que cela e e e signifie) qui d´pend de deux entiers d et g et qu’on note Hd,g et nous avions e cru prouver que Hd,g n’´tait “presque” jamais connexe (l` encore, peu e a importe ce mot). La d´monstration ´tait ´crite, contrˆl´e

que toute variable aléatoire F N -mesurable sur l’espace Ω fini peut être représentée par un vecteur de R|Ω| , on a que H est un sous espace vectoriel de R|Ω| différent de R|Ω| puisque d’intersection vide avec les v.a. positives non nulles par viabilité du marché. De plus, en notant K = {X ∈ R|Ω| /X(ω) ≥ 0, ∑ω∈Ω X(ω) = 1}, K est un convexe compact et H un sous espace vectoriel d’intersection vide avec K, il existe donc un vecteur u tel que ∑ω u(ω)y(ω) = 0 si y ∈ H ∑ω u(ω)y(ω) > 0 si y ∈ K La deuxième

OPÉRATEURS LINÉAIRES 27 2.1 Types d’opérateurs linéaires 27 2.2 Vecteurs et valeurs propres 34 2.3 Matrice d’un opérateur 37 2.4 Espaces de Hilbert 42 EXERCICES 46 CHAPITRE 3 • FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 51 3.1 Réalisations des fonctions d’onde 51 3.2 Espace des états quantiques 55 IV Table des matières 3.3 Système complet d’observables qui commutent 63 3.4 Postulats de la mécanique quantique 66

prenant des valeurs entières sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes Les nombres de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire, polynômes, dérivation, intégration Polynômes de Hilbert, fractions rationnelles et séries télescopiques . . . . . . . . . . Fractions rationnelles, développements limités Intégration, primitives, approximation 62 63 64 65 66 67 68 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

distributions . 2.3.1 Transformations de Laplace . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Transformations de Fourier (TF) des distributions 3 Les signaux certains ou déterministes 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 3.2 Définitions-Exemples . . . . . . . 3.3 Espace de Hilbert des signaux . . 3.4 Bases continues . . . . . . . . . . 3.5 Egalité de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .