Espace nul

′′ + by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 ( IIc ) 1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0 L'équation caractéristique admet deux racines

mission interministérielle pour la qualité des constructions publiques Les espaces publics urbains RECOMMANDATIONS POUR UNE DÉMARCHE DE PROJET JACQUES CABANIEU SYLVIE WEIL JEAN-MARIE GALIBOURG, ANAÏS GUERVILLY GÉRARD LAMOUR, JEAN-PAUL PHILIPPON, PIERRE VETTER FRÉDÉRIC MIALET COLETTE GRÉGOIRE MISSION INTERMINISTÉRIELLE POUR LA QUALITÉ DES CONSTRUCTIONS PUBLIQUES directeur de la publication rédaction et coordination comité de rédaction iconographie Arche Sud 92055

l’intégration est centrale, avec les théorèmes de Fubini et de convergence dominée (par exemple, dans l’exercice 10, le fait sous-jacent qu’une suite de fonctions uniformément bornées qui converge simplement vers zéro converge faiblement au sens des espaces de Banach). Cette théorie de la mesure permet également de donner, au chapitre X, des exemples intéressants d’algèbres de Banach dont le groupe des éléments inversibles contient « beaucoup » de non-exponentielles, et qui sont liées à l’analyse harmonique

)) est bien définie pour n assez grand et qu’elle converge vers (f (c)/g(c)) (cf §3. Suites numériques). ¨ ¨¨ Les propriétés 1°) et 2°) du théorème précédent montrent que l’ensemble des fonctions définies et continues sur D ⊂ R, noté C(D), est un espace vectoriel réel, c’est à dire que les combinaisons linéaires réelles de fonctions continues sur D sont encore des fonctions continues : f, g ∈ C(D) =⇒ αf + βg ∈ C(D) ∀α, β ∈ R Dans le théorème suivant on montre que la composition de fonctions continues

d’ouvrage publique. Le domaine des infrastructures couvre un champ très large et très diversifié, il s’agit autant de l’aménagement d’une petite place d’un bourg que de la construction d’une nouvelle ligne TGV ou d’une autoroute, ou encore d’un grand espace public dans le cadre d’un projet urbain. La conception des ouvrages d’infrastructure, il y a encore une dizaine d’années, était le plus souvent réalisée par des services d’ingénierie publique dans lesquels opéraient essentiellement des techniciens

Pour montrer qu’une partie est un s.e.v, il est souvent plus efficace de l’écrire comme s.e.v engendré que de revenir à la définition d’un s.e.v. Espaces vectoriels Définition 1 (Espaces vectoriels) Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne E × E −→ E (x, y) −→ x + y et d’une loi externe K × E −→ E (λ, x) −→ λ.x. (E, +, .) est un K-espace vectoriel si et seulement si 1. ∀x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z) (associativité) 2. ∀x, y ∈ E, x y = y + x (commutativité) 3. la loi possède

matières 1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 1.6.2 Ensemble compact

. e 6.1.2 Formes n-lin´aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2 D´terminant d’une famille de vecteurs dans une base donn´e. e e 6.2.1 G´n´ralit´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 6.2.2 Orientation d’un R-espace vectoriel de dimension finie. 6.3 D´terminant d’un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4 D´terminant d’une matrice carr´e d’ordre n. . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en mécanique permet de simplifier l’écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la mécanique. 1. Opérations sur les vecteurs → Dans tout ce qui suit, on s’intéressera à l’ensemble E des vecteurs V de l’espace usuel. E est un espace Euclidien à trois dimensions. 2. Définition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A ; il est défini par : son origine ; sa direction ; son sens ; son module. → −− → A O Par convention on

difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un