Espace nul

droite de R3 ne passant pas par 0 b R3 tout entier c un plan contenant (1, 1, 1) d un plan contenant (−12, −24, −36) e une droite contenant (1, 3). a une droite de R3 contenant (1, −2, 1) b un plan de (3, −1). R3 contenant (1, 1, −1) c un sous-espace vectoriel de R2 contenant 2 La famille ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 2, 1)) est a génératrice de b liée c une base de R3 R2 1 2 3 dans les bases 3 2 1 canoniques et x = (1, 2, 3), alors par la matrice M = 6 Si f est l'application linéaire

Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Définitions Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3

exercice 6 Pascal Lainé ( Exercice 7. Soit l’application définie pour tout ( ) ( {( ) Soit ( ) et sa dimension. 1. Donner une base de 2. Donner une base (La plus simple possible) de ( ) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( )

matrice de f dans la base canonique de V , alors on a Ax = y et A ∈ GLn (R). I.A.2) Montrons que GLn (C) vérifie P6 , c’est-à-dire que les seuls sous-espaces de V stables par tous les éléments de GLn (C) sont {0V } et V . Soit donc W un sous-espace de V stable par GLn (C), non réduit à {0V }. Il existe x ∈ V non nul ; pour tout y ∈ V non nul, on vient de montrer qu’il existe A ∈ GLn (C) telle que Ax = y, d’où y ∈ W (car y = Ax ∈ A(W ) ⊂ W vu que W est stable par A). Ainsi W contient tous les

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même noyau

CHAPITRE II ESPACES VECTORIELS REELS 1- LES ESPACES VECTORIELS REELS • On appelle espace vectoriel réel, tout ensemble E muni de deux opérations somme interne + et produit externe par un réel qui vérifient toutes les propriétés de la somme et du produit externe énoncées dans le chapitre précédent. On le note (E, +, ⋅). Notation et théorème démontré en TD : 1) l’ensemble (Rn,+, ⋅) de tous les vecteurs à n lignes et une colonne muni est un espace vectoriel réel. 2) l’ensemble (Mm,n ,+, ⋅) de toutes

difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un

conducteurs électriques 3) Quadripôles 4) Electrostatique 5) Inductance mutuelle 6) Polarisation 7) Optique matricielle 8) Transformation de Lorentz -1- I : Matrice associée à une application linéaire 1– Définition Soit E un espace vectoriel de dimension finie p et F un espace vectoriel de dimension finie n. On choisit une base (ej)j=1..p de E et (εi)i=1..n. Dans cette base, un vecteur x de E s'écrit ∑ xjej. Son image f(x) s'écrit ∑ yiεi. f est définie si l'on connaît les images des ej. Posons f(ej)

COURS MPSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 09/10 A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours, E,F et G désignent des K-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (−