Espace vectoriel euclidien

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur

nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice B ∈ Mn (C) telle que B 2 = I + A. Exercice 5 [ 00712 ] [correction] Soit D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K) et ϕ : M ∈ Mn (K) → DM − M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphisme ϕ. b) Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts. Exercice 11 [ 03144 ] [correction] Soit n ∈ N avec n 2. a) Montrer que {A ∈ Mn (R)/∀M ∈ GLn (R), AM = M A} = {λIn /λ ∈ R} b) Soit A ∈ Mn (R). On suppose que ∀M, N ∈ Mn (K), A = M N ⇒ A = N M Montrer

Retrouver enfin la valeur de ∆(8X 3 + 2X 2 − 5X + 1) dans B. Exercice 23.12 Soit E = R3 . On note B la base canonique de R3 . On définit F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0 et G = (x, y, z) ∈ R3 , x = y = z 1. Justifier que F et G sont des sous espaces vectoriels supplémentaires de E . 2. Soit B′ = (u1 , u2 , u3 ) où u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, −1), u3 = (0, 1, −1). Montrer que B′ est une base. −1 3. Calculer PB,B′ , justifier que cette matrice est inversible, puis déterminer PB,B′  −5 3 −3 Exercice

∈ L1 (R). Montrer que f co¨ ıncide presque partout avec 1 sur R que l’on d´terminera. une fonction g de classe C e Exercice 5 - - Troisi`me ann´e e e ˆ Soit f ∈ L1 (Rn ) telle qu’il existe x0 ∈ Rn telle que f (x0 ) = 0. Montrer que l’espace vectoriel n n’est pas dense dans L1 (Rn ), o` τ f (t) = f (t − x). engendr´ par les (τx f ), x ∈ R e u x Exercice 6 - Non-surjectivit´ de la transform´e de Fourier - Troisi`me ann´e e e e e On sait que la transformation de Fourier est une application lin´aire

21/10/2010 Algèbre linéaire Contenu du cours : A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation B. C. Partie 1 1 21/10/2010 Introduction : Rappels Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous

Mathématiques DS2 Classe de 1S1 Jeudi 17 Octobre 2013 NOM : L’utilisation de la calculatrice est autorisée, mais leur prêt est interdit La notation tiendra compte de la rédaction et des explications fournies   Dans un repère O;i,j , on a les points A2;-5 et B-1;4. Calculez les coordonnées du vecteur AB. Expliquez pourquoi le vecteur u1;-3 est aussi un vecteur directeur de la droite ABDéterminez une équation cartésienne de la droite AB. Soit d1 la droite parallèle à la droite AB

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau