Espace vectoriel quotient

voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel). Alors, pour tout x dans I, l’expression ou son équivalent définit un reste Rn(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)n + 1.

choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1 , u2 ) est une famille libre à deux éléments dans R2 , espace de dimension 2. C’est donc une base de E. En particulier, tout vecteur de R2 s’écrit comme combinaison linéaire de u1 et u2 . 2. On ne peut plus avoir de raisonnement abstrait car on travaille avec seulement deux vecteurs dans un espace de dimension 3. L’équation u = xu1 +yu2 équivaut successivement à    x+y = 2  x+y = 2   4x = 7 (L2 + L1 → L2 ) 3x − y = 5 ⇐⇒

1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 1.6.2 Ensemble compact . .

Systèmes linéaires à 2 inconnues Emilien Suquet, suquet@automaths.com 0 Introduction Equation linéaire à deux inconnues 2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y. La résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient l’équation 2x + y = 4. ( 2 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas l’équation : 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 4 ( 1 , 3 ) , ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 × 1 + 3 = 7 et 2 × (-2) + 8 = 7 On dit que deux équations

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

base B1 en la base B2 , et f (x) = y. Soit A la matrice de f dans la base canonique de V , alors on a Ax = y et A ∈ GLn (R). I.A.2) Montrons que GLn (C) vérifie P6 , c’est-à-dire que les seuls sous-espaces de V stables par tous les éléments de GLn (C) sont {0V } et V . Soit donc W un sous-espace de V stable par GLn (C), non réduit à {0V }. Il existe x ∈ V non nul ; pour tout y ∈ V non nul, on vient de montrer qu’il existe A ∈ GLn (C) telle que Ax = y, d’où y ∈ W (car y = Ax ∈ A(W ) ⊂ W vu que

Rabat -Agdal Éléments d’algèbre et de géométrie Chapitre II : Espace vectoriel de dimension finie Professeure : Amale LAHLOU _________________________________________________ Semestre III / Session : Automne-Hiver 2011/2012 2 Professeure : Amale LAHLOU Sommaire MOTIVATION ......................................................................................................................... 3 1 STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL ...............................................................

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

peut le voir. On en donne ici une version plus générale. On peut encore augmenter la généralité en considérant des fonctions dénies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé, mais dans ce cas la démonstration se ramène à étudier une fonction d'une variable réelle (on considère t → f (a + t(b − a))). 4 Théoreme 1.7. Soit F un espace vectoriel normé, soient a et b dans R, a < b. On suppose que les deux fonctions f : [a, b] → F et g : [a, b] → R sont continues sur [a, b] et dérivables à droite

de cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e 3 4 Table des mati`res e 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .