Espace vectoriel quotient

Chapitre 1 Espaces vectoriels 7 8 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS Dans tout ce chapitre K est le corps de base, il d´signe soit le corps des e r´els R soit le corps des complexes C. e 1.1 G´n´ralit´s e e e D´finition. (Espace vectoriel) On appelle espace vectoriel sur un corps K e tout ensemble E muni de deux lois + et · v´rifiant : e 1. (E, +) est un groupe commutatif (cad, + est une loi interne qui est associative, poss´dant un ´l´ment neutre, et tel que tout ´l´ment

2nde 4 POUR LUNDI 13 2nde 2 pour mercredi 15 avril Exercice 1 Soient f et g définies sur ℝ par f(x)=(4x-2)² et g(x)=x² calculer les coordonnées des points d’intersections de ?? et?? Équations linéaires à deux inconnues Définition Une équation de la forme ax +by +c = 0 ou ax +by = c, avec (a;b)  (0;0), est appelée équation linéaire à deux inconnues.  ax +by = c Propriété : Soit (S) Un système de deux équations linéaires à deux inconnues. (S).  a′x +b′y = c'  (S) a autant de solutions qu’il

a¢ ne. Le calcul di¤érentiel précise cette notion de proximité, et étudie les propriétés qui se transmettent de ces fonctions a¢ nes à la fonction elle-même. Dans toute la suite, U est un ouvert non vide d’un espace vectoriel normé E sur R et f une application de U dans un espace vectoriel normé F sur R. Dé…nitions, Propriétés 8 < il existe une application linéaire continue dfa 2 Lc (E; F ); kf (a + h) f (a) L ( h)kF ff est di¤érentiable en un point a 2 U , lim =0 : khk!0 khkE dfa est dite di¤érentielle

         0 1 0 , A = 1 0 1 et B = 0 1 0 .      On pose I =                  0 0 1 0 1 0 1 0 0                   Partie I 1. 2.a 2.b 2.c 2.d 3. 3.a 3.b 3.c Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 3 (ℝ) . Préciser une base de F et sa dimension. Exprimer A2 , B 2 , AB et BA à l’aide de I , A et B . Soit (a, b, c) ∈ ℝ 3 , (a ′, b ′, c ′) ∈ ℝ 3 , M = T (a, b, c ) et M ′ = T (a ′, b ′, c ′) . Calculer le produit MM ′ . Montrer que F est

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que R(N) est un sous-espace vectoriel de ∞ (R). b) Est-il ouvert ? c) Est-il fermé ? Exercice 8 [ 01111 ] [correction] Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples est une partie ouverte de Rn [X]. Exercice 9 [ 01112 ] [correction] Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement

. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dépendance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ecriture vectorielle et matricielle des systèmes linéaires 1.3.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Un système 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Colinéarité de deux vecteurs I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs : 1) Définition Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel que = . Exemple : = et . sont colinéaires Remarque : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et donc b) ( donc c) ( 10

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On consid`re f l’application lin´aire de E vers E telle que : e e f (e1 ) = e1 + e2 + e3 , f (e2 ) = 2e1 − e2 + 2e3 , f (e3 ) = 4e1 + e2 + 4e3 1) Quelle est la matrice A de f dans la base B ? Si u ∈ E a pour coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans e la base B, quelles sont les coordonn´es de f (u) dans la base B ? e 2) Calculer f (e1 + 2e2 ). 3) D´terminer le noyau et l’image de f . e 4) Ces sous-espaces vectoriels de E sont-ils

Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn Notes Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci ne constitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera