Espace vectoriel topologique

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

________________________________________________________________________________________________________________________ appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage

Vecteurs orthogonaux II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux III- Application aux droites et aux plans III-1 Droites dans III-2 Plans et droites dans II- Résolution d’un système linéaire II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer IV- Retour aux systèmes linéaires IV-1 Images et noyaux orthogonaux IV-2 Sous espaces propres orthogonaux III- Applicaton aux éléments propres d’une matrice

bien définie pour n assez grand et qu’elle converge vers (f (c)/g(c)) (cf §3. Suites numériques). ¨ ¨¨ Les propriétés 1°) et 2°) du théorème précédent montrent que l’ensemble des fonctions définies et continues sur D ⊂ R, noté C(D), est un espace vectoriel réel, c’est à dire que les combinaisons linéaires réelles de fonctions continues sur D sont encore des fonctions continues : f, g ∈ C(D) =⇒ αf + βg ∈ C(D) ∀α, β ∈ R Dans le théorème suivant on montre que la composition de fonctions continues

c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬

des matières Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » . . . . . . . . . Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 3 Espaces Vectoriels 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3 4 4 5 5 7 7 10 10 13 15 15 16 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension

2007 – 2008 Les vecteurs Classe de seconde Les Vecteurs ( En seconde ) Derni`re mise ` jour : Mardi 22 Avril 2008 e a Vincent OBATON, Enseignant au lyc´e Stendhal de Grenoble (Ann´e 2007-2008) e e Lyc´e Stendhal, Grenoble e -1- 2007 – 2008 Les vecteurs Classe de seconde J’aimais et j’aime encore les math´mae tiques pour elles-mˆmes e comme n’admettant pas l’hypocrisie et le vague, mes deux bˆtes e d’aversion. Stendhal Lyc´e Stendhal, Grenoble

4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le

Vecteurs Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. En mécanique du solide, l'espace géométrique de travail est de dimension 3, et dans un espace vectoriel de dimension 3, tracer des flèches pour imager les vecteurs utilisés est souvent commode. Dans tout ce site et sauf mention contraire, l'espace vectoriel de travail est un espace de dimension 3. Champ de vecteurs Un champ de vecteurs est une application qui à tout point de l'espace fait correspondre un vecteur. On note M(P,t),