Faille normale

choisi un livre au titre macabre ? Ne cherchez plus, vous venez de déclarer la réponse en votre question. C’est ce sinistre titre qui nous donna envie de lire ce livre, et peut-être le fait d’avoir lu un ouvrage de Nancy Huston juste avant (Lignes de Failles, si ça vous intéresse). Ce dossier est donc ici pour vous montrer ce que l’on a vu, remarqué, senti, expérimenté au fil de la lecture au travers d’analyses, ces analyses jointes par des pièces de documents là pour aider votre compréhension. Evidemment

probabilité :     Identifier et manipuler les variable aléatoires; Reconnaître les distributions de probabilités discrètes et continues ; Définir et expliquer les espérances et les variances; Définir et expliquer les lois d'usage courant (binomiale, normale, ...). En statistique :    Reconnaître les principales distributions d'échantillonnages; Définir et expliquer les notions d’intervalles de confiance; Définir et expliquer les notions de tests d'hypothèses. Documents pédagogiques 2 OBJECTIFS

. . . . . . . . e 1.2.1 Espaces et axiomes . . . . . . . 1.2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 1.2.3 Probabilit´ conditionnelle . . . e 1.3 Variables al´atoires . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Fonction de distribution . . . . 1.3.2 Distribution Normale . . . . . . 1.3.3 Autres distributions . . . . . . . 1.3.4 Distributions multivari´es . . . e 1.3.5 Moments . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Estimateurs . . . . . . . . . . . 1.4 Approximations asymptotiques . . . . 1.4.1 Motivations . . . . . . .

CHAPITRE 12. Variables al´atoires ` deux dimensions ; esp´rance conditionnelle. Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 e D´finitions et premi`res propri´t´s. Loi de probabilit´ absolument e e ee e continue, densit´ de probabilit´. Loi de probabilit´ conditionnelle, e e e esp´rance math´matique conditionnelle, r´gression. R`gles de cale e e e cul concernant les esp´rances conditionnelles. La loi normale a e ` deux dimensions. Compl´ments et exercices. e e e CHAPITRE 13. Fonction g´n´ratrice

.............................. 44 2.3.5.2 Moments .............................................. 44 2.3.5.3 Additivité ............................................. 45 2.3.504 Loi de U2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 45 La loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Loi de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Loi de Weibull. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

069 Percentiles 25 31,00 12,00 17,00 50 47,00 14,00 20,00 75 62,00 17,00 23,00 COMMENTAIRES : Nous remarquons que la médiane(deuxième quartile) est du même ordre de grandeur que la moyenne on peut dire que probablement la distribution est normale autour de la moyenne. Il suffit aussi de voir si les données sont symétriques pour aller dans le même sens ou pas dans les présomptions de normalité. Dans ce cas le coefficient de symétrie de Skewness Skewness ,091 ,004 -,645 Pour l’âge,

Convenons d’appeler nombre normal tout r´el de [0, 1] tel que la fr´quence e e de chacun des 10 chiffres d´cimaux 0, 1, . . . 9 dans le d´veloppement d´cimal e e e illimit´ de ce nombre converge vers 1/10. Nous avons ainsi obtenu un r´sultat de e e th´orie des nombres qui s’´nonce ainsi : l’ensemble de tous les nombres normaux e e Ch. Suquet, Probabilit´s e 131 Chapitre 6. Loi des grands nombres de [0, 1] a pour longueur 1 (on dit aussi presque tout nombre de [0, 1] est normal). Ce r´sultat est dˆ

cours d’un intervalle de temps fini a une distribution normale dont la variance augment avec la langueur de l’intervalle Soit z une variable qui suit un mouvement brownien simple. Soit ∆z l’accroissement de z pendant un petit intervalle de temps ∆t. ∆z a deux propriétés : 1. ∆z = ԑ ∆t L’accroissement dépend donc de la racine carrée de l’intervalle pendant lequel il se produit. ԑ est une variable aléatoire qui a une distribution normale centrée réduite, c'est-à-dire que : * Son espérance

avec une loi Normale. On superpose la densité d’une loi Normale et on conclut visuellement si l’on peut accepter l’hypothèse de normalité. #On affiche les 2 graphiques cote à cote par(mfrow=c(1,2)); #On crée la densité de la loi normale comme indiqué dans l’énoncé pour les log rentabilités #journalières et mensuelles x=seq(-4,4,length=1000) y1=dnorm(x, mean(logD), sd(logD)) y2=dnorm(x, mean(logM), sd(logM)) #On crée les 2 histogrammes et on superpose les graphiques des lois normales hist(logD,col="blue"