Faille normale

E(ԐtԐt’) = 0 pour tout t ≠ de t’ * Homoscédasticité des erreurs : V(Ԑt) = E(Ԑt2) = σԐ2 pour tout t Bruit blanc : processus de moyenne nulle, de variance constante et non autocorrélé ≠ l’hétéroscédasticité : V(Ԑt)≠constante. * Ԑt suit une loi normale d’espérance nulle et de variance constante : Ԑt ~N (0, σԐ2) 2. Estimation des paramètres (MCO) Principe  * Objectif : à partir des observations, quantifier la relation entre X et Y en estimant a et b (paramètres inconnus) * Un nuage

de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce n’est pas le cas (échec q = 0.90). Les paramètres sont B (n , 0.10). 2. On a la loi binomiale de paramètres B(10 , 0.10). On va calculer P(X=0) : 0 P(X=0) = C10 (0.10) 0 (0.90)10 = 0.35 3.a) On prend maintenant n=100

1. Justification de la m´ethode des moindres carr´es Th´eor`eme 1.1. Lorsque les erreurs de mesure suivent une loi normale, pour qu’un ensemble de valeurs observ´ees (y1, y2, . . . , yn) d’une fonction `a d´eterminer y = '(x) soit le plus probable, il faut choisir cette fonction de telle sorte que la somme des carr´es des ´ecarts des valeurs observ´ees par rapport `a '(x) soit minimale, autrement dit que sa diff´erentielle soit nulle : d Xn i=1 [yi − '(xi)]2 = 0 D´emonstration. Soit y

écart-type  En déduire la probabilité de la distribution normale P = f(μ) par Excel : « LOI.NORMALE.STANDARD (valeur Z) »  Calculer la différence entre la fréquence cumulée et la probabilité espérée : P - N’(Xi) et définir le plus grand écart en valeur absolue.  Comparer cet écart avec les valeurs tabulées de Miller-Owen. H0 : Ecart ≤ M-O H1 : Ecart > M-O  loi normale correcte : non significatif  ne colle pas à la distribution normale : significatif Le problème qui se pose dans notre cas

EXERCICE CORRIGE Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une

21 – La première forme normale Une relation est en première forme normale si tous ses attributs sont élémentaires (ne contiennent qu’une seule information) et sont en dépendance fonctionnelle de la clé primaire (les attributs dépendent de la clé primaire). Ex : Salarié (MatSal, NomPrenSal, TelPortSal, CateSal) Clé primaire : MatSal Clé étrangère : CateSal en référence à CateSal de Catégorie Cette relation n’est pas en première forme normale car l’attribut NomPrenSal

chemin critique et son nombre de jours. Partie 2 La production de Pouëtpouët est contrôlée en fin de chaîne de montage (prélèvement d’échantillons). Lorsque les ateliers de fabrication fonctionnent bien, la masse de ce produit fini suit une loi normale de moyenne 2,5 kg et d’écart-type 0,054 kg. Suite aux récents changements organisationnels effectués, vous craignez une perte de qualité du produit qui se traduirait par une modification de sa masse. Question 3 : vous prélevez 20 produits que vous

l'intensité lumineuse d'une image où l'on porte en abscisse le numéro des niveaux de gris et en ordonnée pour chaque niveau le nombre de pixels ayant l'intensité correspondante à ce niveau. Logarithmique Interprétation de l'histogramme Sous-exposé Normal Sur-exposé Diminution de la plage dynamique Ajustement de la luminosité et du contraste Image > Adjust > Brightness/Contrast... ● Permet d'ajuster la valeur maximum et minimum des pixels et de modifier la brillance et le contraste d'une image

. . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . 5 5 5 7 8 8 9 11 11 12 12 13 13 14 14 16

parmi les 10 tubes, un tube au moins présente un défaut. 2. On prélève 300 tubes dans la production. On décide d’approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le prélèvement par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 9 et d’écart type 3. a) Déterminer la probabilité que le prélèvement contienne entre 6 et 12 tubes défectueux. b) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de tubes défectueux pour un échantillon