Faille normale

6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.7 Lois de Student et de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . 12 Annexe B : Lois de probabilit´ usuelles e 12.1 Caract´ristiques des lois usuelles . . . . . . . . . e 12.1.1 Variables al´atoires r´elles discr`tes . . . e e e 12.1.2 Variables al´atoires r´elles continues . . . e e 12.1.3 Vecteurs al´atoires dans I d et dans I d . e N R 12.2 Tables de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Table 1 de la loi normale centr´e

Introduction Définition Calcul de la probabilité de l’événement k  Espérance, Variance, Ecart type et la fonction caractéristique  Domaine d’application de la loi de poisson  Diagrammes en bâtons  Approximation de la loi de poisson par la loi normale  Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes  Application  Introduction : En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements

indépendantes suivant toutes X  X 2 ⋯ X n une loi normale N   ;  et notons X n= 1 . n On sait que X 1  X 2 ⋯ X n suit une loi normale et que E  X 1 X 2⋯ X n  =E  X 1 E  X 2  ⋯E  X n =⋯==n   et que 1i n V  X 1 X 2⋯ X n  =V  X 1  V  X 2  ⋯V  X n = 2 2 ⋯ 2 =n  2  n termes n termes Ainsi X 1  X 2 ⋯ X n suit une loi normale N  n ;  n   et par conséquent, X  X 2 ⋯ X n  suit une loi normale N ; X n= 1 n n   Observations:

entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix. On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres. On suppose que D suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0,11. 1. Déterminer la probabilité p1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57mm. 2. Déterminer la probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix. 3. En déduire la probabilité p3

Exercice 7 : la loi log-normale : C’est une autre loi de fiabilité pour décrire principalement des phénomènes de fatigue. Le calcul se fait en passant par la variable centrée réduiteoù « m » est la moyenne des ln(t) et σ l’écart type des ln(t). On utilise ensuite les tables de la loi normale en utilisant le paramètre « u ». La durée de vie des bielles d’une voiture sui une loi log-normale de paramètres m=5 et σ=1,4. Calculer la fiabilité pour T=300 heures

exponentielle : paramètre λ E(X)=1/λ et Var(X)=1/λ² (loi très utile pour les courbes de survie ou en médecine nucléaire pour les désintégrations radioactives) - Loi Normale (ou de Gauss) : paramètre µ (espérance) et σ² (variance) (très très utilisée, d’autant plus que, grâce au Théorème Limite Centrale, on peut approximer par une loi Normale, une loi Mn=Σti/n, c'est-à-dire une moyenne, si n, le nombre de répétitions est suffisamment grand, elle aura comme paramètres μ pour l’espérance et σ²/n pour le

virtuellement, une multitude fonctions répondant à ce critère, le choix de (.) se porte le plus souvent sur deux types de fonctions : • la fonction de répartition de la loi normale • la fonction de répartition de la loi logistique 13 Cas n° 1 : modèle Probit (.) correspond à la la fonction de répartition de la loi normale On suppose ici que Yi = ( + Xi) + i avec :  Xi  (   X i )     z2  1 exp    dz 2  2 Cette hypothèse de travail donne naissance au modèle PROBIT.

y) est souvent considéré comme aléatoire. Bruit additif : I(x,y) = I(x,y) + b(x,y) Bruit multiplicatif : I(x,y) = I(x,y) . b(x,y) Types Bruit d'amplification Origine : dérive thermique des composants Modélisation : bruit additif à distribution normale Bruit « Poivre et sel » (impulsionnel) Origine : pixels défectueux, erreurs de CAN, ... Modélisation : remplacement de n % pixels par 0 ou 255 Bruit de quantification Origine : quantification des valeurs en niveaux discrets Modélisation : variable

de 1% de vis défectueuses, quelle est la probabilité de rejeter un lot. Exercice 3 : Modèles continus Une machine est chargée de remplir des bidons d’une contenance nominale de 5 litres. On considère que le processus de remplissage suit une loi normale de moyenne 5 litres et d’écart type de 0,1 litres. 1. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant moins de 4,85 litres. 2. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant entre 4,95 et 5,05 litres. 3. On remplit un

non centrée. Distributions associées et propriétés Si alors est distribuée selon une loi du χ² ; La loi est équivalente à la loi T² de Hotelling ; Si alors ; Si est distribuée selon une loi de Student alors ; Si est distribuée selon une loi normale alors ; Si et alors est distribuée selon une loi bêta; Si est le quantile d'ordre pour et que est le quantile d'ordre pour alors .