Faille normale

munir des cours historiques du marché On suppose que les tendances futures seront identiques paramétrique : Avec m et sigma estimés selon la méthode choisie (cf partie 3) Zq dépend de la loi de probabilité choisie comme modèle Ex : pour une loi normale : Z95% = 1.65 Z99% = 2.33 ESSI - 15/02/2004 Nicolas MARTIN – Josselin TOBELEM 8 3 – Les différentes méthodes A. VaR historique 1/2 Sans tirages Calculer les rendements historiques des composantes du portefeuille. Trier ces rendements

TABULE OU THEORIQUE CONCLUSION INTERPRETATION Estimation de la variance d'un échantillon ( ∑ xi ) ²  1  s² =  ∑ xi ² −  n −1  n    Test bilatéral Effectifs calculés ≥ 30 Test unilatéral droite Test unilatéral gauche - X suit une loi normale ou une autre loi - Variance connue ou non H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 Conclusion : sur une différence ou une inégalité (à droite ou à gauche) significative ou non. Rejet de H0 ou non. Interprétation :

fréquence observée d'apparition du nombre "six" tend vers la probabilité théorique. C'est une question essentielle à résoudre pour les problèmes de modélisation. De Moivre montre en particulier que la loi binomiale tend, en un certain sens, vers la loi normale (ou loi de Laplace-Gauss), la fameuse loi "à la courbe en cloche". De Moivre s'intéresse aussi aux applications pratiques des probabilités et statistiques. Il dresse ainsi des tables de mortalité précises, et donne des formules qui permettent de calculer

). Par exemple, les statistiques usuelles sont : 1 – la moyenne empirique X = n n Xi , i=1 2 1 2 – la variance empirique Sn−1 = n−1 n Xi − X , i=1 – ... Exemple 1 La v.a. Tn = n Xi (somme des Xi indépendants) a pour loi de probabilité une i=1 loi normale N (nµ, nσ 2) si la structure est (IR, B(IR), N (µ, σ 2))n . La probabilité P sera définie, selon l’un des deux cas, par :   la loi conjointe Pθ (X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) dans le cas de v.a. discrètes, ou  la densité conjointe fX;θ (x1 , .

peut-on dire de cette variable aléatoire X ? Théorème Central Limite - Version 1 - (Version faible) Contexte : variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population X Ê N(m ; s) On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise(1) ou assimilés) de taille n de moyenne X . Alors la variable aléatoire X suit également une loi normale : s ö æ X Ê Nçm ; ÷ nø è Atténuation de la dispersion par le processus d'échantillonnage. Un tirage avec remise est encore appelé "tirage non exhaustif"

vers a certain n 21/01/00 28/36 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton Loi de Laplace Gauss (normale) Montpellier III densité donnée par (moyenne α et écart-type σ): 1 d(x) = e σ 2π ( x−α)2 − 2 σ2 29/36 21/01/00 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton Loi normale Montpellier III la probabilité que la variable soit entre α−2σ et α+2σ est 95% 95% σ 2σ 21/01/00 30/36 Méthodes quantitatives

de maximum 5%. Dans le cas d’un échantillon on parle souvent d’intervalles (les deux bornes, bornes inférieur borne supérieur) De plus toute population étudiée suit une loi normale. Application : on vous demande de faire une étude avec un intervalle de confiance de 95% sachant que la population étudié suit une loi normale trouver la ou les variables centrés réduites qui corresponde Puisque c’est symétrique la marge d’erreur est divisé par 2. 95% + 2,5% = 97,5 on cherche sur le tableau 0,975

toute la population, retrouve une moyenne égale à 1,70m. 2. Distribution d’échantillonnage de la moyenne III. Distribution de la fréquence 1. Exemple 2. Distribution d’échantillonnage de la fréquence IV. Lois de référence 1. La loi normale Ne pas hésiter à faire un graphique pour faciliter les calculs. Déterminer, à l’aide d’Excel, les probabilités suivantes : 1) Si X suit une loi N (0;1) calculer : Quelle est la probabilité que je choisisse un jour où la température était

toute autre valeur de x µ = (a+b)/2 2 = 〖(b-a)〗^2/12 Fonction de densité de probabilité normale f(x) =1/("" √2) e^(-〖(x-µ)〗^2/2) et P[x≤n]=P[x=0]+P[x=1]+…+P[x=n] et P[x≥n]=1-{P[x=0]+P[x=1]+…+P[x=n-1]} L’approximation de la loi binomiale par la loi normale peut être faite lorsque n>20 si np≥5 et n(1-p)≥5 en associant un intervalle de +/- 0.5 aux valeurs de x. Loi normale centrée réduite z = (x-µ)/ Attention : valeurs des tables = probabilité entre µ=0 et z

qui est la valeure de reference pour une loi normal, on peut donc parler d’excès de kurtosis et la distribution est dite ici leptokurtic, ce qui se traduit concrètement par une plus forte occurrence des valeurs extremes, remettant en cause l’idée meme d’une loi de distribution normale pour notre série. Coefficient skewness : ce coefficient représente un indicateur d’assymétrie de notre distribution, qui prend une valeur nulle pour une loi normale. Il vaut ici -0.70 et est donc largement éloignée