Forme linéaire

Barème donné à titre indicatif NB : vous mettrez un soin particulier à justifier vos réponses. Exercice 1 (5 points) Soit deux entreprises A et B présentes sur un marché, chacune pouvant opter pour la coopération ou le combat. Soit le jeu en forme normale suivant présentant leurs stratégies possibles. | | Entreprise B | | |Combat Coopération

des primitives Méthode On utilise dans ces exercices la linéarité de l’intégrale : ∫a k × f (x) dx = k ×∫a f (x) dx si k est une constante réelle. On se ramène ainsi aux primitives usuelles en « équilibrant » les coefficients, puis utiliser une forme connue de primitive : b b ∫ f (x) dx = [F(x) ]a = F(b) − F(a). a b b • Type u′eu Exercice 1 Calculer I1 = • Type u′ u u′ ( toujours en « équilibrant » les coefficients) qui donnera une primitive du type ln u si u(x) > 0. u ∫ 1 0 x

nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique. Exercice 23 [ 01264 ] [correction] Montrer que An (R) et Sn (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). Structures formées de matrices Exercice 24 Soit [correction]   a  E = M (a, b, c) =  c  b   b c  a b  /(a, b, c) ∈ R3  c a Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M3 (R) dont on déterminera la dimension. ∈ Mn (R) appelée

b) Déterminer un supplémentaire de F dans F(R, R). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013 Applications linéaires Exercice 25 [ 01703 ] [correction] Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z b) f : R2 → R définie par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R2 → R définie par f (x, y) = xy d) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x − z ? Exercice

modules pour la gestion et le traitement statistique des données. Cet ensemble a pour vocation de : * collecter les informations provenant des différents systèmes opérationnels, quel que soient leur source de données ou leur forme * présenter les résultats sous forme de représentations graphique,mais aussi d'une facon plus claire que possible * effectuer des traitements statistiques classiques, de modélisation, de prévision, de data mining… Présentation des données :

+ Eléments neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise un point O de G pour ne considérer que des bipoints ayant que ce point O pour origine alors n’importe

facilement de déterminer la constante de Michaelis (Km) ainsi que la valeur de la vitesse maximale. Pour cela, nous pouvons tracer un graphe de 1/[S] en fonction de 1/[V0] (Linweaver - Burk plot) et ainsi obtenir une répartition des mesures plus linéaire. On obtient pour 1/V0 = f(1/[BAPNA]) une droite de régression ayant les caractéristiques suivante : y = ax + b 21.04.2009 Elliott Croset Alexandre Dumoulin Solutions [BAPNA] (mol/l) [S] (mol/l) Pente (Abs/ min) V0*10-6 (mol/min) pipettes

représentation graphique d'une fonction affine ? propriété : Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine. Tous les points M (x;y) d' une droite d vérifient une équation de la forme y = mx + p où m et p désignent des réels. ► démonstration Le plan est muni du repère (O; I; J). Soit d une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. d coupe (OJ) en P : (0 ; p). Elle coupe également la parallèle menée par I à l'axe des ordonnées

dans un repère (O, I, J) orthonormé d'unité 1 cm, les fonctions suivantes : p définie par p(x) = x + 4 (en rouge); q définie par q(x) = -2x (en vert); r la fonction affine telle que r(-2) = 3 et r(2) = 4 (en bleu); s la fonction linéaire telle que s(5) = -4 (en noir). Exercice 4 : (9 points) ATTENTION : Toutes les lectures sur le graphique doivent être justifiées par des tracés en pointillés. Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : Formule A :on

route et sans cesse corriger la direction de la voiture mˆme s’il n’y a pas de virages. e 1.2.1 Notion de syst`me, de Boucle Ouverte (BO), de Boucle e Ferm´e (BF) e L’automatique peut s’appliquer ` tout ce qui bouge, fonctionne, se transa forme. L’objet d’application de l’automatique est appel´ syst`me. e e 3 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Un syst`me se caract´rise par ses grandeurs d’entr´e et de sortie. Les e e e grandeurs d’entr´e sont les grandeurs qui agissent sur le syst`me. Il