Formule du binôme de Newton

si pour tout i, on peut opérer un changement de variable affine du type : xi = aXi + b alors x = aX + b. (3) La variance p 1 2 Elle est donnée par la formule : : V = ∑ n i(xi − x) . n i=1 (4) L’écart-type Jean-Michel BERNABOTTO 1 Cours de statistiques d’IUT Il est donné par la formule : σ = V (5) Propriétés p 1 2 2 La formule suivante est plus pratique pour le calcul de V : V = ∑ n ixi − x n i=1 2 De plus si pour tout i, xi = aXi + b alors Vx = a VX et σx = aσX. 3. Les variables

X- Combinatoire L’essentiel de la combinatoire tient en trois formules, ce qui est fort peu. Encore faut-il ensuite arriver à les appliquer correctement, ce qui est nécessite un certain entraînement. Dans ce contexte, ce que l’on appelle les combinaisons joue un rôle p majeur. On appelle Cn le nombre de façons de choisir un paquet de p objets dans un p ensemble de n objets. Signalons que ce nombre, que nous notons Cn , s’écrit aussi, dans la littérature mathématique récente, et américaine à l’origine

», 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 + C33 a 0b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 En appliquant le théorème de Newton avec a = 1 et b = x ou b = -x on obtient les deux identités suivantes: (1 + x )

Remise Avec Ordre (Arrangement) Boules Distinctes Sans Ordre (Combinaison) Boules Identiques Sans Exclusions Avec Exclusions Propriétés: Formule du Binôme de Newton II Axiomatique des probabilités totales L'axiomatique de Kolmogorov définit la probabilité comme une fonction associant, a chacun des événements résultant d'une expérience aléatoire, un nombre qui mesure le degrés de certitude

1 ; P     0 Card A . Card    Si A1 ,…, An forment une partition de A, P  A    P  A i  i 1 Dans le cas équiprobable : P  A   Probabilité conditionnelle de A sachant que B est p ( A  B) réalisé : pB  A   p( B ) Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de  alors p  A  =p  A  B1  +p  A  B 2  +...+p  A  B n  Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1 n Espérance mathématique

III. Par la méthode de Holme et Papadimitriou π 1. Démontrer que pour tous θ ∈ ]0, [ et n ∈ * : 2 n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2. On considère, pour n ∈ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j =0 * ( ) n− j [On pourra utiliser la formule de Moivre] , le polynôme Pn défini par : n  Pn = 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 X n − j j =0 Démontrer que les n racines de Pn sont les réels : αk = cotan2 n kπ ,1 2n + 1 k n. 3. Montrer que : k =1 cotan2 kπ n( 2n − 1) =

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour

matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :   0 0 0   e f . F = d −d −e −f Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices A= 0 1 , 0 0 B= 1 0 0 0 conviennent. Exercice 6 - Puissance n-ième - avec la formule du binôme - L1/Math Sup On commence par calculer les premières valeurs de B n . On a   0 1 0   B =  0 0 1 , 0 0 0   0 0 1   2 B =  0 0 0 , 0 0 0   0 0 0   3 B =  0 0 0 . 0 0 0 On en déduit alors par récurrence que, pour tout

s'agit d'utiliser des transformations pour construire les • représentations graphiques des fonctions associées à f à partir de la représentation de f. • Toute recherche systématique est exclue. • On pourra utiliser un changement de repère ou les formules usuelles (à • établir) : f (a+x)+f(a-x) = 2b et f (a+x) = f (a-x) ou f (2a - x) = f(x). Déterminer graphiquement l'image ou l'image réciproque d'un intervalle. Construire, à partir de la représentation graphique d'une fonction, celles des fonctions

0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0 (fm ) × P−1 = PDm P−1 .   v1 = e1 − 2e2 v2 = e1 + e3 4)  v3 = e1 − e2 m 1,   e2 = −v1 + v3 e1 = −v1