Formule du binôme de Newton

si i 6= j ± i, j = 1 si i = j. Alors le terme général de la matrice identité I p est ± i, j avec i et j entiers, compris entre 1 et p. La matrice produit AI p est une matrice appartenant à M n,p (K) dont le terme général c i j est donné p X par la formule c i j = a ik ±k j . Dans cette somme, i et j sont fixés et k prend toutes les valeurs k=1 comprises entre 1 et p. Si k 6= j alors ±k j = 0, et si k = j alors ±k j = 1. Donc dans la somme qui définit c i j , tous les termes correspondant à des valeurs

− y + z = −1 ⇐⇒ ⇐⇒ x+y =2  −x − y + 2z = 0      2 On choisit e3 =  0  qui convient. On vérifie que (e1 , e2 , e3 ) est bien une base. 1   0 2 1 Exercice 23.8 1. On décompose A = I3 + N où N =  0 0 2  . On applique alors le binôme de Newton 0 0 0 car I3 N = N I3 (l’identité commute avec toutes les matrices). Tout cela marche bien car N est nilpotente (Nihil —11/33— G´ H -E M -( ) 2009  1. LES BASIQUES  0 0 4 Potent), en effet N 2 =  0 0 0  et N 3 = ( ). Ainsi 0 0 0 n

composée l'est. Considérer par exemple pF o pG où pF et pG sont les projecteurs sur F (respectivement G) parallèlement à G (respectivement F), F et G étant deux supplémentaires. On prendra garde également qu'en général f o g ≠ g o f. Ainsi, la formule du binôme de Newton ne s'applique pas en général, mais seulement lorsque f et g commutent. Par exemple : (f + g)2 = f 2 + f o g + g o f + g2 Considérons l'ensemble des automorphismes de E. Cet ensemble est non vide (il contient Id), stable par o. Tout élément

𝑛. Cet ensemble a pour complémentaire « Tirer au plus 𝑛 − 1 » • Tirer au plus 𝑛 éléments, c’est tirer un nombre plus petit ou égal à 𝑛. Cet ensemble a pour complémentaire « Tirer au moins 𝑛 + 1 » 5.4 Binôme de Newton Soit a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel non nul. On a : (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛 𝑘𝑛 𝑘=0 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘. (𝑎 + 𝑏)𝑛

euclidienne : 45 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD Math L1 : Pré-Requis • Détermination de Q(x) par identification 46 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD C. Formule de binôme de Newton Soit a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel, un raisonnement par récurrence permet de démontrer la formule suivante : Math L1 : Pré-Requis Avec 47 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD 6) Fonctions paires, impaires Soit f une fonction définie sur ‫ ⊂ ܦ‬ℝ • f est dite

28 Pages Bac : exercices et TP ..................................................................... 39 COMPRENDRE : Lois et modèles 5 Cinématique et dynamique newtoniennes ........................................ 42 6 Application des lois de Newton et des lois de Kepler ...................... 56 7 Travail et énergie .............................................................................. 70 8 Temps et relativité restreinte ..........................................................

variables discrètes (x et y) à support fini. Le filtre de convolution H appliqué sur I est lui aussi à 2D. Il est donné par une matrice de poids (ou coefficients) de taille (2w+1)x(2w+1). H est appelé filtre, masque, noyau ou fenêtre de convolution. Formule et mise en œuvre L'image I' résultat de la convolution de I par H est donnée en chaque pixel (x,y) par : w w I ' ( x , y)=( I∗H )( x , y)= ∑ ∑ I ( x−i , y− j) . H ( i , j) (1) i=−w j=−w combinaison linéaire des valeurs sources (somme de multiplications

Polynômes 1. Nombres complexes La somme de deux nombres complexes conjugués Le produit de deux nombres complexes conjugués Pour linéariser et est et . est 1. , on utilise les formules d’Euler. Si on veut exprimer cosnθ ou sinnθ en fonction de cosθ et sinθ, on considère que et on utilise les formules de Moivre. Quelques résultats très utilisés : . 1) 2) - et sont conjugués. - et sont opposés. - et sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. -

module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 - - L1/Math Sup On a, en factorisant par l’angle moitié et en utilisant les formules d’Euler, 1 + eiθ = 2 cos(θ/2)eiθ/2 . On en déduit que |1 + z| = 2 cos(θ/2) > 0 car θ/2 ∈]0, π/2[, puis qu’un argument de 1 + z est θ/2. Pour l’autre complexe, on commence par transformer son écriture en remarquant qu’il s’agit du début d’une somme

calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . 2 Entraînement 2.1 Vrai ou faux . . . 2.2 Exercices . . . . . 2.3 QCM .