Helge von Koch

Rapport sur le flocon de koch Le Flocon de koch est une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme «fractal»). Cette Courbe à été inventée en 1906 par le mathématicien suédois du nom de Niels Von Koch. On obtient ce flocon de la même façon que la fractale, en partant d'un triangle équilatéral au lieu de segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. La courbe de Von Koch est la limite des courbes obtenues

technologies humaines Ex : Ou En quoi l'omniprésence des fractales dans la natureprésente-t-elle un intérêt ? I-Définition et Modélisation A) Définition => Définition et Histoire =>Biographies des grands hommes des Fractales : Mandelbrot, Von Koch, Nottale,... => Croquis Simples =>... B) Modélisation =>Modélisation 3D sur Ordi avec Hammer =>Images Fractales et Art =>... II-Les Fractales dans la Nature A) Les Fractales en Géographie =>Exemple de la côte de Bretagne =>Intérêt

comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch qu’ils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Parenthèse d'explication Le flocon de Koch : Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite

des fractales s'avère être assez récente. En effet, c'est aux XIX et XX siècles que les fractales ont commencé à être trouvées. Les mathématiciens Georg Cantor, Felix Hausdorff ou Helge von Koch se posaient des questions sur la dérivabilité* et ont trouvé des contre-exemples à cette notion, comme le flocon de Von Koch, le triangle de Cantor, ou bien l'escalier de Cantor-Lebesgue. Les fonctions des exemples précédents ont des courbes continues, mais ne possèdent pas de tangente en aucun point. De

en 1872 pour montrer, par une construction explicite, qu'une fonction continue n'a pas nécessairement de dérivée. Quelques exemples de courbes fractales ; les monstres fractals  La courbe de von Koch L'exemple le plus célèbre de courbe fractale est celui du flocon de neige de Helge von Koch, mathématicien suédois qui la publia pour la première fois en 1904 et la décrivit comme "courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire. A partir d'un segment de

Circonférence d'un cercle * 2 Perception du périmètre * 3 Isopérimétrie * 4 Courbe rectifiable o 4.1 Un exemple : l'ellipse o 4.2 Courbe rectifiable * 5 Courbes fractales o 5.1 Un exemple : Le flocon de von Koch o 5.2 Fractales et dimension de Hausdorff * 6 Fragments d'histoire o 6.1 Aire et périmètre o 6.2 Circonférence du cercle o 6.3 Longueur d'une courbe * 7 Annexes o 7.1 Bibliographie

de Riemann et π(x), l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers. Helge von Koch en 1901 a montré plus précisément, que si l'hypothèse de Riemann était vraie, le terme d'erreur dans la relation mentionnée ci-dessus pourrait être amélioré en : \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right) La constante sous

itération. Les premiers exemples de tels objets furent les courbes de Koch et de Peano. La première, décrite en 1904 par Helge von Koch (1870 -1924), part d'un triangle équilatéral (initiateur) ; au milieu de chacun des côtés, on construit un nouveau triangle équilatéral dont le coté est le tiers du premier. On recommence la même opération sur les cotés de chaque triangle obtenu, et cela indéfiniment. Le flocon de von Koch Ces courbes fractales sont antérieures au concept de "fractale" tel

Fractale « auto-similaire » et fractale « auto-affine » La courbe de Helge Von Koch est un bon exemple pour comprendre comment une fractale se construit. La procé dure commence avec un segment. Ce segment est coupé en trois parties é gales et la partie centrale est remplacé e par deux segments incliné s de longueur é gale au segment ô té tel que le montre la figure suivante. Figure 1. Initialisation de la courbe de Helge Von Koch La même procé dure est ensuite appliqué e à chacun des quatre nouveaux

. . . . . . . . e 1.2 Crise des math´matiques (1875-1925) . . . . . . . . e 1.2.1 Une courbe continue sans d´riv´e . . . . . . e e 1.2.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Au sujet de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La dimension topologique . . . . . . . . . . 1.3.2 La dimension de Hausdorff-Besicovitch