Homothétie

associe à tout point M, le point t(M) == M' tel que: ----+ -~ -----7 MM' == MB - 2 MC -----t + MD· a) Déterminer la nature de t et préciser son élément caractéristique. b) Déterminer l'image de (!?) par t. 3°) Démontrer qu'il existe une homothétie h dont on précisera le centre le rapport k telle que h(J) = A et h(B) = H. 4°) Soit S (~; ~ n et ; ~) un point de l'espace. SA.BCD est une pyramide. a) Démontrer que b) Calculer le volume de l'image de cette pyramide par t 0 h. Suite en Page

quarts de tour. Collège Ferdinand Bac | Page 15 / 1623 Homothétie Définition 23.1 Soit k un nombre relatif non nul. L’homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M en point M′ de la façon suivante : - les points O, M et M′ sont alignés ; - si k > 0, alors M′ appartient à la demi-droite [OM) et OM′ = k×OM ; - si k < 0, alors M′ n’appartient pas à la demi-droite [OM) et OM′ =−k×OM. Exemple. L’image de M par une homothétie de centre O et de rapport k = 3 M O M′ Les points O,M et

 l'absorbance  est  directement  proportionnelle,  pour  chaque   longueur  d'onde,  à  la  concentration  en  ions  triiodure  en  solution.  Si  cette  dernière  augmente,   l'absorbance   augmente,   et   la   bande   du   spectre   subit   une   homothétie   vers   les   plus   grandes   valeurs  d'absorbance.   e.  Il  n'y  a  alors  pas  que  les  radiations  violettes  qui  sont  absorbées,  mais  aussi  le  bleu,  puis  le   vert.  Ainsi,  la  couleur  perçue  évolue  également,  passant  progressivement

systématique de la photogrammétrie pour réaliser les cartes de base de pays entiers. Principe général Le principe général est basé sur la perception humaine du relief par observation stéréoscopique. L'image stéréoscopique observée est une exacte homothétie du terrain réel photographié, pour autant que la chambre de prise de vue soit parfaite ou que l'image ait été corrigée de sa distorsion. Pour que l'image observée soit une copie exacte de l'objet mesuré, il faut contraindre un certain nombre de

□  Pour tout n  , PGCD(a, b)  2 □  Pour tout n  , PGCD(a, b)  3 4. La similitude S1 a pour expression complexe . La similitude S2 a pour expression complexe La transformation composée est □  une réflexion □  une translation □  une homothétie □  une rotation 5. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,,) direct. On appelle A B et C les points d’affixes i, 1 + i, et – 1 + i. Soit s la similitude directe qui transforme O en A et B en C. Le centre de s a pour affixe : □   □   □  

Projections : définition et propriétés des projections associées à deux sous-espaces supplémentaires. Caractérisation des projections par l’équation p 2 = p. 5 - Définition et structure de K-e.v. de L(E, F ) puis L(E) 6 - Exemples d’automorphismes : homothéties, affinités, symétries. Caractérisation des symétries par l’équation s 2 = Id. 12. Algèbre linéaire (2) : structures de dimension finie A) Familles libres, génératrices, bases 1 - Familles (finies) libres : définition, propriétés immédiates, application

Aniséiconie sphérique , uniforme, over all : les IR sont de même forme mais de taille différente. RG Rd * Aniséiconie symétrique ou régulière : les 2 images n’ont pas la même forme mais elle peuvent se déduire l’1 de l’autre par une homothétie suivie d’une affinité. En fait, les 2 images ont des axes en commun et/ou perpendiculaires entre eux. * Aniséiconie irrégulière : tous les autres cas * Aniséiconie subjective  Les 2 images rétiniennes sont identiques mais les 2 extériorisations

d’angle ’ est III- L’homothétie dans le plan de centre I et de rapport k 1) Définition – Propriétés a) Définition Etant donné un point I et un réel k, on appelle homothétie de centre I et de rapport k la transformation du plan dans lui-même qui au point M associe le point M’ tel que IM' Exemple : image d’une croix par une homothétie de centre I et de rapport k : 113 k IM . • Si 0 < k < 1, on obtient une réduction • Si k > 1, on obtient un agrandissement N’ y y N N

conserve : les alignements (les symétriques de trois points alignés sont alignés), le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles). Elle transforme même toute droite en une droite qui lui est parallèle, puisque c'est une homothétie (de rapport –1). Lorsque l'espace affine est muni d'une structure euclidienne, c'est même une isométrie affine (un déplacement si la dimension de l'espace est paire et un antidéplacement si elle est impaire) ; elle conserve : les distances, les

est Cos [θ] 2+Sin [θ] 2=1. Les matrices de rotation forment donc des bases orthogonales directes. Cette matrice sert à changer d’angle de vue dans l’espace sans changer les dimensions de l’objet. * La matrice d’homothétie h. Une homothétie est une transformation géométrique définie par un centre O et un rapport k. Elle préserve la direction d’un vecteur et l’alignement des points et modifie selon le rapport k les distances. Donc si le rapport k=1, l’homothétie est la transformation