Identité remarquable

http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/ 3. Identités remarquables Propriété : Pour tous nombres réels a et b, on a : DEVELOPPER (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 FACTORISER Exemples : ( 3 x − 5 ) = ( 3x ) − 2 × 3 x × 5 + 52 = 9 x 2 − 30 x + 25 2 ( 2 x − 1)( 2 x + 1) = ( 2 x ) − 12 = 4 x2 − 1 2 2 25 x 2 + 20 x + 4 = ( 5 x ) + 20 x + 22 = ( 5 x + 2 ) 2 2 Méthode : Factoriser en utilisant une identité remarquable Factoriser l’expression suivante :

Ce qu'il faut savoir : résoudre des équations simples du premier degré (exemple : x-2=0)et des équations-produits. rappel : Les identités remarquables Elles sont utiles quand l'équation est sous une forme particulière.(exemple pour x²-1=0 : on reconnaît une différence de carrés et le second membre est nul) Il en existe 3 qu'il faut apprendre par coeur. a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab+b² = (a-b)² a² - b² = (a+b)(a-b) Attention  (a+b)² n'est pas égal en général à a²+b² !!!! Exemple : pour x² -

l’écriture a·b+a·c somme de deux termes on dit qu’on développe le produit a · (b + c) en utilisant la distributivité. On peut écrire la règle de distributivité d’une autre manière: a · (b − c) = a · b − a · c. La règle de distributivité est une identité: l’égalité a · (b + c) = a · b + a · c est vraie, quelles que soient les valeurs qu’on donne aux variables a, b et c. 2.2 LES SIMPLIFICATIONS D’ÉCRITURE Les deux règles suivantes permettent de supprimer certaines parenthèses: 1) Si une parenthèse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 J’étudie la 1ère identité remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78  Séance 4 . . . . . . .

AB/AM = 4.5/1.5 = 3 D’ autre part : AC/AN = 6/2 = 3 On constate que AB/AM = AC/AN DE PLUS LES POINT B,A,M et C,A,N sont alignés dans le même ordre. Or d’après la réciproque du théorème du Thales On a donc BC//MN LES IDENTITES REMARQUABLES : 1ere identitée remarquable : Développement : • ( x + 4 ) le tout au carré = x au carré + 2 fois x fois 4 + 4 au carré • ( 3x + 5 ) le tout au carré = (3x) le tout au carré + 2 fois x fois 4+ 4 au carré Factorisation : • X au carré

d ) = ac + ad + bc + bd Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b ( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac + bc + ad + bd Cette année, voici trois nouvelles relations, appelés identités remarquables : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 ( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2 Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième 2 2 2 2 2 ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b 2 2 2 2

= 4x – xy On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (ou la soustraction). Dans l’exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2. Double-distributivité Propriété : 3. Identités remarquables Propriété : Pour tous nombres réels a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Exemples : Méthode : Développer une expression Développer et réduire l’expression suivante :

II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² * en utilisant la géométrie : Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables

que l’on va étudier maintenant. 2. Identités remarquables Une équation du second degré est toujours sous la forme : sont des réels avec , où non-nul. Les identités remarquables sont utiles quand on a une équation sous une forme particulière. Il est particulièrement intéressant de très bien les connaître pour pouvoir résoudre plus rapidement et facilement des équations. Équations 2/4 On peut distinguer trois formes d’identités remarquables :    Ainsi, on peut résoudre

et d on a : → Développer → (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemple : f(x) = (4x – 3)(2x + 5) f(x) = 8x² + 20x – 6x – 15 f(x) = 8x² + 14x – 15 ← Factoriser ← www.mathsenligne.com 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE COURS (2/6) c. Identités remarquables Pour tous nombres a et b on a : → Développer → (a + b) ² = a² + 2ab + b² (a – b) ² = a² – 2ab + b² (a – b)(a + b) = a² – b² ← Factoriser ← d. Polynôme du second degré On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 +