Identité remarquable

Chapitre 1: Second degré I - Fonction trinôme du second degré A - Rappels Définition On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a 

5 15x ¡ 35 Double distributivité Ôa   bÕ ¢ Ôc   dÕ E E E E E E a¢c a¢d b¢c b¢d Ô3x ¡ 1Õ ¢ Ô5 ¡ 2xÕ Ô3x   Ô¡1ÕÕ ¢ Ô5   Ô¡2xÕÕ 3x ¢ 5   3x ¢ Ô¡2xÕ   Ô¡1Õ ¢ 5   Ô¡1Õ ¢ Ô¡2xÕ 15x   Ô¡6x2 Õ   Ô¡5Õ   2x 15x ¡ 6x2 ¡ 5   2x ¡6x2   17x ¡ 5 Egalités remarquables Ôa   bÕ2 Ôa ¡ bÕ2 Ôa   bÕÔa ¡ bÕ F F F F F Ô2x   3Õ ¢ Ôx ¡ 5Õ Ô2x   3Õ ¢ Ôx   Ô¡5ÕÕ 2x ¢ x   2x ¢ Ô¡5Õ   3 ¢ x   3 ¢ Ô¡5Õ 2x2   Ô¡10xÕ   3x   Ô¡15Õ 2x2 ¡ 7x ¡ 15 a2   2 ¢ a ¢ b   b 2 a 2 a 2 ¡2¢a¢b b ¡ b2 2 Type 1 Type 2 Type 3 Bien

2 En classe de seconde pour résoudre une équation du second degré on se ramène par factorisation à une résolution d'équation produit Règle: A × B =0 ⇔ A =0 ou B = 0 Remarque : il faut connaître les techniques de factorisation et les 3 identités remarquables Résoudre  x – 22=5  x – 22=5⇔ x−22−5=0 ⇔ x−2−  5 x−2  5=0 ⇔ x−2− 5=0 ou x−2 5=0 On trouve S= { 2− 5 ; 2 5 } III. Interprétation s graphiques 2 cas se présentent: • équation de la forme f  x  = k On trace la courbe

Objectifs : Développer et factoriser sont les deux actions de base du calcul littéral. Comment développer une expression à l’aide de la distributivité et des identités remarquables ? Comment factoriser une expression ? Tels sont les objectifs de cette fiche. 1. Développer Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme ou en une différence. a. Utilisation de la distributivité Pour tous nombres réels k, a et b :Exemples : Développer les expressions suivantes : b. Utilisation

Tables des matières Tables des matières Erreurs classiques Nombres et ensembles Opérations et tableau des signes Hiérarchie des opérations Fractions Puissances et racines Puissances Racines Notations Polynômes et fractions polynomiales Les produits remarquables Les méthodes de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers

Principe de la complétion de carrée La complétion de carrée est une méthode de factorisation de trinôme de second degré. Elle s’utilise lorsque le trinôme en question n’est pas factorisable par la méthode de somme produit. Prenons l’exemple suivant : x2+6x-32 Ce trinôme est infactorisable (ne peut pas être factorisé) par somme-produit. Nous utiliserons donc la complétion de carré pour réussir à mettre en deux facteurs le trinôme ci-dessus. Le but de la complétion de carrée est d’en fait, créer

1 2 3 4 x Prop : a>0 y 3 3 y 4 a 0, 2 2   b   ∆  − b + ∆  −b− ∆    = a x −  x −  P( x) = a  x +  −   2 a   2a   2a  2a          Dans le cas où ∆ = 0, b   P ( x) = a x −  (égalité remarquable) 2a   2 Dans le cas où ∆ < 0, ∆ − > 0 ∀x ∈ ℝ, et donc 4a ² 2  b  ∆   x −  −  > 0 ∀x ∈ ℝ 2a  4a ²     ∆=0 ∆>0 Deux racines réelles Une racine Aucune “double” : distinctes : Racines racine −b −b − ∆ −b+ ∆ x0 = réelle x1 =

on commence toujours par mettre ce facteur commun en évidence ;  Mise en évidence double : après une mise en évidence dans chaque groupe, apparaît un facteur commun qui peut, à son tour, être mis en évidence ;  Factorisation et produits remarquables – Binôme :a2 −b2 = (a−b)(a+b), a3 −b3 = (a−b)(a2 +ab+b2 ) et a3 +b3 = (a+b)(a2 +ab+b2 )2 – Trinôme : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 et (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Remarque : il faut toujours vérifier que le double produit soit présent dans cette somme

Révision des chapitres 1 et 2 201-016-50 Propriétés des exposants 45 = 48 1. 43 × 42 = 5. 2. (43 )2 = 6. 4 0 = 3. ( 4 (16) ) 3 7. 4 −3 = = 5 2 4.   = 3 Simplifier l’expression et exprimer votre réponse à l’aide d’exposants positifs. a) (4 ) (5 ) (5 ) x (4 ) = b) (4 ) (5 ) (5 ) ÷ (4 ) = 2 4 3 2 2 4 3 2 4 −2 −1 3 4 −2 −1 3 Propriétés des exposants fractionnaires et des radicaux 1. 3 8= 3. 2. 3 214 = 4. Simplifier s’il y a lieu. 5 64x5 y8 = z16 3 2 3 3 2 24

MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE MISE EN ÉVIDENCE DOUBLE DIFFÉRENCE DE CARRÉS SOMME OU DIFFÉRENCE ax + ay + az = a(x + y + z) ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) a2 − b2 = (a + b)(a − b) DE CUBES Q UAND Q UAND Q UAND Lorsqu’un facteur est commun à tous les termes. Lorsqu’un facteur est commun aux termes de chaque groupe. Lorsque les deux termes de la différence sont des carrés. C OMMENT C OMMENT 1. Regrouper les termes ayant un facteur commun. (ax + bx) + (ay + by) Écrire le produit de la