Inclusion

relation ℛ est dite transitive si x ℛ? ?? ?ℛ? ⟹ ?ℛ?.  La relation ℛ est dite d‟équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.  La relation ℛ est dite d‟ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Exemples :  L‟inclusion dans ?(?) est une relation d‟ordre.  L‟égalité dans ?(?) est une relation d‟équivalence.  Dans ℝ la relation ?ℛ? ?? ? 2 − ? 2 = ? − ? est une relation d‟équivalence ; cl(x) = ?  !!!!!! Définition : Soit ℛ une relation d‟équivalence sur un

commun), ce qui donne pour des ensembles finis l’inégalité: card(A ∪ B) ≤ card(A) + card(B). On définit ainsi l’intersection de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et B : A ∩ B = {x∈E, x∈A et x∈B }. Le principe d’exclusion-inclusion nous fournit une relation pour le cardinal de A , B, A ∩ B, et A ∪ B : card(A ∪ B) + card(A ∩ B) = card(A) + card(B). On définit le complémentaire de A comme l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas des éléments de A : Ac = {x∈E, x∉A}. Evidemment

0 si et seulement si sup x 1 ϕ(x) existe. Si ϕ continue en 0 alors ∀ ∈ R∗+ ∃η ∈ R∗+ | x < η =⇒ ϕ(x) < Autrement dit, ϕ continue en 0 implique que : ∀ ∈ R∗+ ∃η ∈ R∗+ |ϕ(BE (0, η)) ⊂ BE (0, ) Comme ϕ est lin´eaire, nous pouvons multiplier cette inclusion par un facteur a et par continuit´e de ϕ nous obtenons : que ϕ(BE (0, 1)) ⊂ BE (0, η )). De l` 1 η et nous obtenons ϕ(B(0, 1)) ⊂ ϕ(B(0, 1)) ⊂ B(0, ) η Donc le sup existe. Inversement, si ce sup existe, alors il s’agit du plus petit k ∈ R∗+ tel

NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´e, nous utiliserons les symboles suivants : 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a` E”. • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´ec´edent, le symbole d’inclusion sert uniquement a` comparer des ensembles ; ainsi la propri´et´e x ∈ E s’´ecrit ´egalement {x}

on s’aper¸oit qu’une cons´quence de ce qui pr´c`de e c e e e 2 est le c´l`bre paradoxe de Russell: “il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles”. ee En effet si un tel “univers” X existait, il contiendrait l’ensemble de ses parties et cette inclusion P(X) ⊂ X permettrait de construire une surjection de X sur P(X). On pourrait ´galement consid´rer e e Y = {x ∈ X, x ∈ x}, / et remarquer que si Y ∈ Y alors, par d´finition de Y , Y ∈ Y . Si en revanche Y ∈ Y alors, e / / par d´finition de Y , Y ∈ Y

αC + βC ⊂ (α + β)C . En eet : β α Soit x ∈ αC + βC : il existe y1 , y2 ∈ C tels que x = αy1 + βy2 = (α + β)( α+β y1 + α+β y2 ). β β α α Comme C est convexe et α+β + α+β = 1, on a : α+β y1 + α+β y2 ∈ C . D'où αC + βC ⊂ (α + β)C . De la double inclusion, on déduit que : (α + β)C = αC + βC . (ii) Soit {Ci , i ∈ I} une famille quelconque d'ensembles convexes. Montrons que Ci est convexe. Soient x, y ∈ i∈I Ci et α ∈ [0; 1]. Alors, pour tout i ∈ I , x, y ∈ Ci (qui est Ci . D'où i∈I i∈I i∈I

{a,b,c,…,x,y,z}={lettres de l’alphabet français} 3) A l’inverse, l’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé « l’ensemble vide » : Ø Math L1 : Pré-Requis Remarques : 4 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD B. Sous ensembles – Inclusion • A est un sous ensemble de B si tout élément de A є B, on note A с B. U B • A n’est pas un sous ensemble de B si il existe un élément de A qui n’est pas contenu dans B A⊄ B Ex : E={e,c,o,n,o,m,i} A={e,c,o} D={e,r,t} On a A c E et ‫ܧ ⊄ ܦ‬ Math

nombres premiers deux à deux distincts. Pour tout x ∈ R(nZ), il existe k ∈ N tel que xk ∈ nZ. Tous les p1 , . . . , pm sont alors facteurs premiers de xk donc de x et par conséquent n divise x. Finalement R(nZ) ⊂ nZ puis R(nZ) = nZ car l’autre inclusion est toujours vraie. Exercice 44 : [énoncé] a) sans difficultés. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections b) Pour tout x ∈ A, x = xe + x(1 − e) avec

n’est pas la seule façon !). Notons que 101 ∈ P - L’ensemble S de toutes les puissances entières de 3 est qcrit en compréhension : S = {3n , n ∈ Z} Notons qu’aucun nombre pair appartient à S. - La collection { , 1, } n’est pas un ensemble. 1.2 Inclusion Soient E et F deux ensemles. On dira que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F . On dit encore que E est un sous-ensemble de F ou E est une partie de F . On écrit dans ce cas E ⊂ F ou F ⊃ E. Exemples - L’ensemble des poulets

. e 1.1.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 1.1.2 R´union d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.3 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Compl´mentaire d’un ensemble . . . . . . . . . e 1.1.5 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Op´rations ensemblistes et Op´rations logiques e e 1.2 Ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Cardinal d’une r´union