Inclusion

, bi [ est un ouvert. Soit x ∈ P arbitraire. Alors il existe ε(x) > 0 tel que Bε(x) (x) ⊂ P . DESSIN Il suffit de prendre ε(x) = min(b1 − x1 , x1 − a1 , . . . , bd − xd , xd − ad ) quand x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd (voir dessin). On a alors les inclusions {x} ⊂ P = x∈P Bε(x) (x) ⊂ P . x∈P On a donc ´egalit´e partout, ce qui dit que P est la r´eunion de boules ouvertes, c’est-` a-dire que P est un ouvert pour la topologie euclidienne. Soit maintenant Bε (x) une boule et soit y ∈ Bε (x) arbitraire

ln(x) ex sin(x) cos(x) tan(x) 1 1 f (x) axa−1 ex cos(x) − sin(x) = 1 + tan2 (x) 2 (x) x cos On peut ´noncer quelques autres propri´t´s : e ee 1. La d´riv´e d’une fonction constante est la fonction nulle. e e √ 2. On peut avoir une inclusion stricte Df ⊂ Df (exemple : f (x) = x). 3. Ne pas oublier ! ! ! : si f est d´rivable en x0 , alors f est continue en x0 mais la r´ciproque e e est fausse (exemple : |x| en 0). 4. On d´finit ´galement fd (x0 ) et fg (x0 ), les d´riv´es ` droite

si x est un élément de E, et x ∉ E dans le cas contraire. – Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété. – Exemples : x ∈ R | | x − 2| < 1 , z ∈ C | z5 = 1 , x∈R|0 x 1 = [0, 1]. 1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire – L’inclusion. E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F (autrement dit : ∀ x ∈ E (x ∈ F)). On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F. – L’égalité. E = F si et seulement si E ⊂

à A ». On désigne par ∅ l’ensemble vide qui n’a aucun élément. DESSIN Si A est fini le cardinal de A, Card(A) ou Exemple : A = { 1, 2, 5, 10} Card (A) = 4 E = { n ∈ N ⇔ n² < 0 } donc E = ∅ #A, désigne le nombre d’éléments de A. MT18 3.2. Inclusion Définition : On dit que A est inclus dans B, noté A ⊂ B si la proposition suivante est vraie : ( x∈ A ) ⇒ ( x ∈ B ) A est alors un sous ensemble ou une partie de B. DESSIN On dit que A = B ssi A ⊂ B et B ⊂ A Exemple : ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 3.3

de ces réels. –5 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I1 = [–2 ; 5]. On lit "intervalle fermé –2 ; 5" 2. On considère l'ensemble I2 des réels x tels que –4 < x < 6 Marquer en couleur sur l'axe gradué ci-dessous l'ensemble de ces réels. –5 3. Inclusion Le symbole  permet de dire qu’un ensemble est inclus dans un autre.  se lit « est inclus dans » et  se lit « n’est pas inclus dans » .  15   – 3  2,25   Q  {–3 ; 4}  IN { 37}  IR I 4   IN  Q I Q I  D IR+  IR –4 –4 –3 –2 –1

Notions essentielles du cours de mathématiques de MPSI Julien Élie Ce petit document reprend le plan de cours de Serge Francinou, l’excellent professeur que j’ai eu l’honneur d’avoir en mathématiques au Lycée Henri-IV de Paris en HX3, classe de mathématiques supérieures en MPSI (Mathématiques, Physique et Sciences de l’Ingénieur), durant l’année scolaire 20022003. Il est à noter que j’ai moi-même été interrogateur en mathématiques dans cette même classe durant l’année scolaire 2006-2007. J’ai

Coefficients binomiaux. Binôme de Newton I) Coefficients binomiaux : ❖ [pic] On considère un ensemble E à n éléments. Une partie de E à p éléments est un sous-ensemble de E à p éléments. 1° méthode : [pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration 2° méthode : Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association »

Chapitre 1 : Pourcentages . I- Proportion et pourcentages d'évolution. Pourcentage d'une partie par rapport à un taux. A E Définition: Soit A un sous-ensemble d'un ensemble E. Soit nA et nE, les nombres d'éléments des ensembles A et E. La proportion des éléments de A parmi les éléments de l'ensemble E est le quotient P = nA . nE Ce nombre est compris entre 0 et 1 et on peut l'exprimer sous forme de pourcentage. Exemple: Dans une classe de 30 élèves, il y a 21 filles

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

Nous sommes nombreux à avoir nos propres principes pour une vie meilleure. D’une manière générale je fais d’une habitude de faire les efforts pour aller de l’avant au lieu de me pencher sur le passé quoi qu’il est pu être. Je suis une personne qui aime encourager les autres et les amener à croire que leurs rêves sont réalisables. Dans notre quête vers une meilleure vie, il est important de constamment être attentif à notre vision de la vie, du monde pour voir si ce que nous faisons fonctionne