Inégalité arithmético-géométrique

Factorisation de an − bn ; on insiste sur les cas n = 2 ou n = 3. k=1 Factorielle. Coefficients binomiaux. Notation n p . Formule et triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton. Manipulation des inégalités. Valeur absolue d'un réel. Inégalités triangulaires. Interprétation sur la droite réelle d'inégalités du type |x − a| α, |x − a| < α. Propriété d'Archimède. Partie entière. Approximations décimales d'un réel. Notation x . Valeurs décimales approchées à la

Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques 1) Suites équivalentes 2) Suites

Passage aux intégrales dans les inégalités : Si x ∈ [ a; b ] ⇒ f ( x) ≤ g ( x) , alors Valeur moyenne de f sur un intervalle [a;b] (avec a 1 , alors lim q n = +∞ . Si −1 < q < 1 , alors lim q n = 0 , (et bien sûr si q = 1 ou q = 0 , l’expression q n est n →+∞ n →+∞ constante quel que soit l’entier n). Si q ≤ −1 , alors q n’admet pas de limite lorsque n tend vers +∞ n Tout ce qui suit est au Programme de la Spécialité Mathématique : Suites arithmético-géométriques (ou affines) Ce sont les suites

+D) S= Suites N ( P + D) 2 Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Suites géométriques (de raison strictement positive) 3.1. Définition Une suite (un) est dite géométrique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le un+1 = q un même nombre q : Ce nombre q s'appelle la raison de la suite (un). M4 : comment vérifier qu'une suite est géométrique ? ® Après s'être assuré que un n'est jamais nul, on calcule, pour tout indice n, le rapport de

. . . . . . . 11 2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

trigonométrique d’un nombre complexe 1.3. Racine n-ième d’un nombre complexe 2. Equations du second degré 3. Exercices 7 7 7 9 10 11 11 Chapitre 3. Suites numériques 1. Définition et premières propriétés 1.1. Suite arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques 1.2. Suites numériques adjacentes 1.3. Suites numériques définies par récurrence linéaire 2. Approfondissements 3. Suites numériques complexes 4. Exercices 13 13 15 16 16 18 20 21 Chapitre 4. Fonctions d’une variable réelle 1. Premières

probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque M1 ? Exercice 4 Probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique Un fumeur essaye de réduire sa consommation. On admet qu'il fonctionne toujours suivant les conditions : · C1 : S'il reste un jour sans fumer, alors il fume le lendemain avec une probabilité de 0,4. · C2 : Par contre, s'il cède et fume

nombre de problèmes. La construction de l’ensemble des nombres réels date de 1870 et repose sur les axiomes de base : 1) (R, +, ∗) est un corps commutatif 2) (R, ≤) est totalement ordonnée : ∀(x,y) ∈ R2 on a : x ≤ y ou y ≤ x. 3) La relation d’ordre (inégalité) est compatible avec les opérations de R i) La relation d’ordre ≤ est compatible avec l’addition + càd ∀ x ∈ R, ∀x1 ∈ R, ∀y ∈ R et ∀y1 ∈ R, si x ≤ x1 et y ≤ y1 alors x + y ≤ x1 + y1 ii) La relation d’ordre ≤ est compatible avec la multiplication

. . . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . .

limite éventuelle d’une suite géométrique. On peut étudier des situations où intervient la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées. Ce théorème est admis. Suite majorée, minorée, bornée. (1+ a)n  1+ na .  Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite + . Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités en exercice.  Des