Inégalité arithmético-géométrique

manière générale : ∑ = nombre de terme * (premier terme + dernier terme) / 2 Suite géométrique : un+1 = un*q  un = u0*qn Les suites géométriques sont des suites à croissance exponentielle (de base q). Somme d’une suite géométrique : De i = k à k + n - 1 : ∑ uk = (uk – uk+n-1) / (1 – q) = uk*((1 – qn) / (1 – q)) De manière générale : ∑ = premier terme * (1 – q^nombre de termes) / (1 – q) Suite arithmético-géométrique : un+1 = un*q + r Chapitre 3 : Intégrale et primitive. Définition primitive :

arithmétique de raison r, alors - pour tout naturel n, Un = U0 + nr - pour tous naturels n et p, Un = Up + (n-p)r Suites géométriques Définition : Une suite (Un) est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que pour tout n, Un+1 = q Un q est alors appelé la raison de cette suite. Propriété : Si (Un) est une suite géométrique de raison q, alors - pour tout naturel n, Un = U0 x q(n) - pour tous naturels n et p, Un = Up x q(n-p)

1 Suites Définir une suite numérique (Un), c'est associer à chaque entier naturel n, un nombre réel Un. On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes.

la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 2. 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner

(u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique. Terme général[modifier | modifier le

la somme d'une suite arithmétique : Sn = Uo + U1 + U2 + U3 + ... + Un On applique cette formule : Sn = (premier terme + dernier terme).(nombre de terme) / 2 C'est rare lorsqu'il demande de la calculer. Concernant les suites géométriques. Si on pose Vn une suite géométrique de raison q, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on multiplie par la raison : Vn+1 = q.Vn On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel

Chapitre 1 : rappels sur les suites 24 septembre 2013 Contrôle de mathématiques Lundi 23 septembre 2013 Exercice 1 ROC 5 points 1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique

la proposition suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené à travailler avec une suite géométrique de raison 1/4, dont il doit sommer les termes, en évitant toutefois la somme infinie et en se contentant de manipuler la suite des sommes finies. Un autre exemple dû à Archimède est son calcul approché de π par la méthode dite des isopérimètres, consistant

converge vers ℓ. converge vers f (a). 3) Convergence et relation d’ordre a) Passage à la limite dans une inégalité Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant). 1 Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗ > 0). n b) Théorème d’encadrement Soient (un

absolue V) Inégalités VI) Identités remarquables PARTIE II RESOLUTION D'EQUATIONS ET D'INEQUATIONS I) Résolution d'équations II) Résolution d'inéquations III) Résolution de systèmes linéaires PARTIE III ETUDES DE FONCTIONS I) Généralités II) Fonctions usuelles III) Limites de fonctions IV) Comportement asymptotique V) Dérivation VI) Tangente VII) Continuité VIII) Intégration PARTIE IV SUITES NUMERIQUES I) Généralités II) Suites arithmétiques III) Suites géométriques IV) Suites arithmético-géométriques