Inégalité de Minkowski

reste bien moins élevé que chez les adultes et personnes âgées). Enfin, ils sont de plus en plus concernés par la consommation de substances psychoactives : tabac, alcool et cannabis, majoritairement. Ce que l’on sait peut-être moins, c’est que les inégalités de santé liées au milieu social concernent également les jeunes. Les différentes études qualitatives réalisées par l’ORS Rhône-Alpes concernant les adolescents ou les jeunes en insertion, confirment que les jeunes « héritent » des difficultés socio-économiques

éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent. ➥ Exercice 1.6 b) Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels • Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. ➥ Exercices 1.6, 1.11 • Appliquer convenablement l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’inégalité de Minkowski. ➥ Exercice 1.12. Voir aussi chapitre 6. Essayer de faire une récurrence sur n. Pour y arriver

|fn | ≤ g avec g ∈ L1 (Ω, A, µ). Si on suppose que (fn ) converge simplement vers f sur Ω alors : n→∞ lim fn dµ = f dµ. On peut étendre le Théorème de Lebesgue dans le cas où (fn )n converge presque partout vers f . Théorème 1.1.5 (Inégalité de Jensen) Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé, soit φ : R → R une fonction convexe et soit f : Ω → R mesurable telle que φ(f ) soit une fonction intégrable par rapport à P . Alors : φ f dP ≤ φ(f ) dP. • Mesures induites et densités 1.1

Supposons maintenant que (V, || · ||) soit un espace vectoriel normé. On définit la distance d(x, y) entre x, y ∈ V par d(x, y) := ||x − y||. (M1) d(x, y) 0, et d(x, y) = 0 ssi x = y. (M2) d(x, y) = d(y, x) (symétrie) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, x) (inégalité triangulaire). Démonstration. La propriété (M1) vient de (N1), (M2) du fait que |−1| = 1 et (M3) est obtenu en utilisant (N3) : d(x, z) = ||x − z|| = ||x − y + y − z|| ||x − y|| + ||y − z|| = d(x, y) + d(y, z). 2.2. Proposition. Pour tout x, y, z

Voir aussi chapitre 17. • Effectuer un changement de variable pouvant ramener l’inégalité voulue à une autre plus simple. ➥ Exercice 1.10 • Tenir compte éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent. Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels ➥ Exercice 1.6 b) • Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. ➥ Exercices 1.6, 1.11, 1.12.

linéaires (ch. 2) • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (ch. 3). Objectifs • Définition et propriétés élémentaires des formes bilinéaires symétriques • Consolidation des acquis sur les espaces vectoriels euclidiens : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne, orthogonalité • Définition et étude des endomorphismes symétriques et des endomorphismes orthogonaux • Définition de la notion d’adjoint ; son lien, en dimension finie, avec la transposition des matrices carrées

de dégré 2 en de signe constant donc le discriminant de f ( ) est négatif. K o¢ G e rm a in A B A L O Théorème 3.41 : Soit ' une f:b:s positive sur E alors on a 8x; y 2 E : 1) p ('(x; y))2 q(x)q(y) (inégalité de Cauchy Schwarz) p p 2) q(x + y) q(x) + q(y) (inégalité triangulaire ou de Minkowski). 44 U F R -M I 3.3. ORTHOGONALITE 40 = ['(x; y)]2 '(x; x)'(y; y) 0 donc ['(x; y)]2 '(x; x)'(y; y); d’ le résultat. où Maintenant si q(x) = q(y) = 0; alors q( x + y) = 2 '(x; y) 0; 8 2 R: Par

H) = 1 ∗ δ = 1 (1 ∗ δ ) ∗ H = 0 ∗ H = 0. (1.70) (1.71) (1.68) Propriétés Support du produit de convolution : Nous disposons de l’inclusion suivante : supp S ∗ T ⊂ supp S + supp T, (1.72) et dans laquelle le membre de droite se lit (somme de Minkowski) : {x + y; x ∈ supp S, y ∈ supp T } . (1.73) 15 1. Introduction aux Distributions Ainsi, par exemple, si le support de S est inclut dans (a, ∞) et celui de T dans (b, ∞), celui de S ∗ T sera inclut dans (a + b, ∞). A noter également un résultat

représentées en littérature. « Le spectacle de la richesse et de l’introspection de ceux qui n’ont pas faim, tel est le sujet dominant de la littérature contemporaine. » Et lui veut montrer les autres, les exclus, les invisibles. La question des inégalités revient sur le devant de la scène lorsqu’on aborde avec lui la question sensible des langues. Dans un pays où le taux d’analphabétisme est de 50 %, on comprend que seul le créole soit parlé par la majorité et que l’accès au Français soit un combat

riables selon ce qui est classé). - Les n÷uds de l'arbre correspondent aux regroupements de deux éléments appelés aîné et benjamin. L'arbre de la gure 7.7 peut ainsi être décrit par le tableau 7.2. ordonnance. - L'agrégation repose sur les inégalités des distances entre elles. Nous pouvons obtenir le même classement en des couples d'éléments en classant ces couples par ordre croissant des distances. Un tel classement est appelé 7.3. LA CLASSIFICATION HIÉRARCHIQUE 97 Fig. 7.7  Exemple