Inégalité de Minkowski

tout A ∈ L(Rd ), on a : λ(A) λ(A) = = inf {λ(U ) | U ouvert, U ⊃ A} (C’est la régularité extérieure.) sup {λ(K) | K compact, K ⊂ A} (C’est la régularité intérieure.) Démonstration. Il faut montrer que λ(A) inf {λ(U ) | U ouvert, U ⊃ A}, l’autre inégalité étant immédiate. On peut supposer que λ(A) < ∞, sans quoi il n’y a rien à montrer. Pour tout ε > 0, il existe une famille {Pi }i∈N de pavés ouverts tels que A⊂ Notons U = i∈N Pi i∈N et i∈N mes(Pi ) λ(A) + ε Pi , alors U est un ouvert

définie de vers par : P , La distance d’un point à un sous espace vectoriel Q est donnée par : P , Q minN C N T U Propriétés : (1) (2) (3) (4) Homogénéité : NF. VN |F|. NVN Norme d’une somme de deux vecteurs : NV XN6 Inégalité de Schwarz : | V, X | Y NVN. NXN Inégalité de Minkowski : NV XN Y NVN NXN 17 (norme euclidienne) NVN6 NXN6 2. V, X Professeure Salma DASSER printempsSession printemps-été [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Propriétés : (1) P (2) P (3) P (distance

en cinq actes, Hugo Reyne et la Symphonie du Marais, Accord, 3 CD, 2005. • Persée, tragédie lyrique en cinq actes, Christophe Rousset et Les Talens Lyriques, Naïve Records, 3 CD, 2001. • Phaéton, tragédie lyrique en cinq actes, Marc Minkowski et Les Musiciens du Louvre, Erato, 2 CD, 1994. • Proserpine, tragédie lyrique en cinq actes, Hervé Niquet et Le Concert spirituel, Glossa, 2 CD 2007. • Psyché, tragédie lyrique en cinq actes, Paul O'Dette, Stephen Stubbs et le Boston

Théorème 4. Inégalité de Hölder Pour toutes fonctions f, g : E → K mesurables,∫ E |fg|dµ 6 ‖f‖p‖g‖q . Remarque 3. Supposons 1 &lt; p, q &lt;∞, ‖f‖p &lt;∞ et ‖g‖q &lt;∞. Alors on a le cas d’égalité dans Hölder si et seulement s’il existe (α, β) ∈ R2 \ {(0, 0)} tel que αf p = βgq µ-presque partout. N’oubliez pas les puissances, qui n’apparaissaient pas dans le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz. On renvoie à [BP] pour plus de détails sur ces cas d’égalité. Corollaire 1. Inégalité de Minkowski Pour toutes

bilinéaire symétrique ϕ ( x, y) =t XAY ( x, y) ∈ E2 X = MatB ( x) Y = MatB ( y) Norme euclidienne – Définition x 2 = ( x| x) · 2 : norme euclidienne sur E x∈E Inégalité de Cauchy-Schwarz |( x| y)| x · y ∀( x, y) ∈ E2 Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont liés. 1. Algèbre 23 Inégalité triangulaire ou de Minkowski x+y ∀( x, y) ∈ E2 x + y Il ouysia xégalité = 0. si et seulement si les vecteurs x et y sont positivement liés Relations entre produit scalaire et norme E2

l’inégalité f (x) ϕ(x) est vérifiée et lim ϕ(x) = 0, alors (∗) implique lim f (x) = 0. x→0 x→0 I.1.9. (a) Donner un exemple de fonction f vérifiant la condition lim (f (x)f (2x)) = 0 x→0 et telle que lim f (x) n’existe pas. x→0 (b) Montrer que si les inégalités f (x) |x|α ( 12 < α < 1) et f (x)f (2x) sont vérifiées dans un voisinage épointé de 0, alors lim f (x) = 0. |x| x→0 I.1.10. Soit α ∈ R. On suppose que lim x→+∞ f (ax) xα = g(a) pour tout a ∈ R∗+ . Prouver qu’il existe c tel que g(a) = caα

1 < p, q < ∞ avec deux suites dans C. N ∈ N∗ =⇒ ≤ ( N |xn |q )1/q ( N |yn |p )1/p . n=1 n=1 P 1.6 Inégalités de Minkowski Soit 1 < p < ∞, ∀x, y ∈ x + y p ≤ x p + y p, ∀f, g ∈ Lp , f + g p ≤ f p + g p. p 1 p P 1.3 Norme-quotient P 1.4 Inégalité de Minkowski finie P 1.5 Inégalité de Hölder finie + 1 q = 1, (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ N n=1 |xn yn | ≤ , P 1.7 Inégalités de Hölder 1 Soit 1 < p, q < ∞ avec p + ∀x ∈ p , ∀y ∈ q , ∞ n=1 |xy| ≤ x p y q ∀f ∈ Lp , ∀g ∈ Lq

137 1.1 Formules courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.2 Formules de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2 Relativité très restreinte 138 2.1 Cône de lumière de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.2 Produit de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3 Modèle logistique discret 139 3.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . .

. . 91 15. La conjecture de Borsuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . .

préparatoires économiques et commerciales toutes options (Ellipses). (e) Recueils d’annales corrigées (Ellipses), pour la première année, les sujets de la voie économiques sont plus indiqués que ceux de la voie scientifique. Table des matières 1 Inégalités dans R 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .