Intégration horizontale

1 n2 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n n t − [t] dt t 0 A+n t − [t] dt − t A t − [t] dt t Puisque A+n 1 1 1 + + ln 1 − n 3n 0 A+n t − [t] dt − t Enfin par la relation de Chasles x2 (1+x3 )n+2 dx. b) Jn − Jn+1 = x× En procédant à une intégration par parties justifiée par deux√convergences : Jn+1 = 3n−1 3n Jn . c) On pose vn = 3 nJn . A t − [t] 1 dt = t(t + n) n t − [t] dt t 0 A 1 A A+n t − [t] dt A n A on obtient quand A → +∞ donc la série de terme général ln vn+1 − ln vn converge

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire

113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités ...................................................................

Applications du théorème de conservation de la quantité de mouvement Traînée d’un corps admettant un axe de symétrie (Ecoulement plan ou de révolution) Considérons le cas d’un écoulement de révolution la généralisation au cas plan (c’est-à-dire ne dépendant que de deux dimensions d’espace) étant immédiate. Supposons tout d’abord l’obstacle (C ) fermé (aucun flux ne le traverse), la vitesse en amont de l’obstacle étant constante. L’écoulement est supposé permanent. On veut déterminer la force que

tan t dt = √ grâce au changement t = arctan x2 puis intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications

réel donné. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε < A. Les deux fonctions t → tx et t → −e−t sont de classe C1 sur [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit A tx e−t dt = −tx e−t ε A ε A +x ε tx−1 e−t dt = −Ax e−A + εx e−ε . Puisque x > 0, quand ε tend vers 0 et A tend vers +∞ on obtient +∞ +∞ Γ (x + 1) = 0 tx e−t dt = x 0 tx−1 e−t dt = xΓ (x)

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

intégrales: III - 1 - Utilisation des primitives : Exemples : 1 xdx 1) I = ∫ 0 1+ x 2 e 3) K = ∫ 0 1 0 x dx x +1 π dx x ln 2 (x ) e2 4) K = ∫ π 2) J = ∫ cos3 (x ) 5) L = ∫ 4 tan 2 (x )dx 0 III - 2 Intégration par parties : Théorème: Soit u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur [ a, b] , alors : b ∫a u′( x)v( x)dx = [u ( x)v( x)]a − ∫ u ( x)v′( x)dx b b a Exemples: π 2 2) J = ∫ 3 1) I = ∫ x ln(x )dx 1

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que