Intégration verticale

113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités ...................................................................

Applications du théorème de conservation de la quantité de mouvement Traînée d’un corps admettant un axe de symétrie (Ecoulement plan ou de révolution) Considérons le cas d’un écoulement de révolution la généralisation au cas plan (c’est-à-dire ne dépendant que de deux dimensions d’espace) étant immédiate. Supposons tout d’abord l’obstacle (C ) fermé (aucun flux ne le traverse), la vitesse en amont de l’obstacle étant constante. L’écoulement est supposé permanent. On veut déterminer la force que

tan t dt = √ grâce au changement t = arctan x2 puis intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications

réel donné. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε < A. Les deux fonctions t → tx et t → −e−t sont de classe C1 sur [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit A tx e−t dt = −tx e−t ε A ε A +x ε tx−1 e−t dt = −Ax e−A + εx e−ε . Puisque x > 0, quand ε tend vers 0 et A tend vers +∞ on obtient +∞ +∞ Γ (x + 1) = 0 tx e−t dt = x 0 tx−1 e−t dt = xΓ (x)

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

intégrales: III - 1 - Utilisation des primitives : Exemples : 1 xdx 1) I = ∫ 0 1+ x 2 e 3) K = ∫ 0 1 0 x dx x +1 π dx x ln 2 (x ) e2 4) K = ∫ π 2) J = ∫ cos3 (x ) 5) L = ∫ 4 tan 2 (x )dx 0 III - 2 Intégration par parties : Théorème: Soit u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur [ a, b] , alors : b ∫a u′( x)v( x)dx = [u ( x)v( x)]a − ∫ u ( x)v′( x)dx b b a Exemples: π 2 2) J = ∫ 3 1) I = ∫ x ln(x )dx 1

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

+∞, ainsi que celle en +∞ en utilisant cette fois le théorème des croissances comparées. x D’où le tableau de variations : f (x) f (x) +∞ 0 − 1 0 0 + +∞ +∞ ∗ 1) f (x) = x − 1 − ln(x) sur R+ . a) f (x) = 1 − b) En 0+ , on a une asymptote verticale. f (x) 1 ln(x) =1− − → 1. En +∞, on cherche la limite de : x x x x→+∞ On a au moins une branche infinie de direction asymptotique y = x. On cherche maintenant la limite de : f (x) − x = −1 − ln(x) → −∞. x→+∞ On a finalement une branche parabolique