Intégration verticale

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x)

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

Ch 9 : Calcul intégral – Notion de primitives Savoirs faire |Savoir … |Comment faire ? | | |. Si on connaît une primitive F de f sur [a ; b], alors | | |[pic] = F(b) – F(a). | |

que je veux calculer initialement. Mais, avec cette méthode, je tombe sur une intégrale tout aussi difficile à calculer... On va donc à nouveau transformer cette nouvelle intégrale : b ex cos(x) a dx On va utiliser à nouveau une intégration par partie. b b b ex cos(x) a dx = ex sin(x) a a ex sin(x) dx Cette fois, on a posé : Donc, dans ce cas : U(x) = ex U '(x) = ex et et V(x) = V '(x) = cos(x) sin(x) On remplace maintenant

) si x  0 g(x) =  .  0 si x  0 3) a) Montrer que g est positive sur IR. b) Montrer que g est continue sur ] –, 0 [ et sur [ 0, + [. c) En remarquant que, si l’on pose u’ (x) = – f (x), on peut choisir u(x) = 1 – F(x), montrer grâce à une intégration par parties, que 0  x h( x ) dx puis donner sa valeur. En déduire que X 0  g ( x) dx est une intégrale convergente et que 0  g ( x) dx = 1. d) Établir que g peut être considérée comme la densité d’une variable

sép—r—nt l9intégr—tion de son ™omp—nion di'érenti—tion en ex—min—nt les sommes et le pro™édé de l— limite pour déterminer une surf—™e donnéeF sl — étendu son idée en ™onsidér—nt toutes les fon™tions sur un interv—lle sur lesquelles le pro™essus d9"intégration" peut être —ppliquéF gette portéeD d—ns ™e nouve—u point de vue de ‚iem—nn v— ouvrir les portes pour l9invention d9—utres méthodes d9intégr—tion ™omme ™elle de ve˜esgueF hur—nt l— (n des —nnées IWSHD une des extension de l9intégr—le de ‚eim—nn —

2 0 2 e  b) Vrai :    1 4 1 sin 2tdt    cos2t    2 0 2 sin t  1 3 dt    2 1  1. 2 cos t  cos t  0   c) Vrai :  e 1 ln tdt   t ln t  t  1  1 .  3 0 d) Vrai : 1 0 e) Vrai : Intégration par parties, 1. 6. QCM 2  tetdt   (t  1)et   1 .   0 1 Fesic 2002, exercice 5. Répondre simplement par Vrai ou Faux à chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a

|Option 1 : Poursuivre l’exploitation actuelle du barrage de |Option 2 : Assurer une protection intégrale du barrage de |Option 3 : Assurer une protection participative tout en permettant une | |Yakouta telle qu’elle est pratiquée |Yakouta à travers l’application des mesures coercitives |valorisation efficiente des ressources du barrage | | |nécessaires

Equations différentielles 1. Généralités Définition Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle (par exemple x), une fonction qui dépend de cette variable (par exemple y) et un certain nombre de ses dérivées successives. Lorsque la dérivée de plus haut degré de la fonction (qui apparaît réellement) est la nième (n∈À*), on dit que l'équation différentielle est d'ordre n. Exemples x yy" = x − x2y' est une équation différentielle d'ordre 2 où y est une fonction