Intégration verticale

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à

Plan 1 Intégrale des fonctions en escaliers Subdivision : Fonction en escalier Intégrale d'une fonction en escalier Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Intégration par partie Changement de variable Complément sur le calcul des primitives Mars 2012 2 3 4 5 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des

Fiches de révision : Intégration Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1). On appelle aire sous la courbe

95 CHAPITRE VII . CALCUL D'AIRES ET CALCUL INTEGRAL EN TS. INTRODUCTION à l'essai pédagogique. 1°Partie : EVOLUTION HISTORIQUE DU CALCUL DE L’AIRE DU SEGMENT DE PARABOLE. A Quadrature du segment de parabole selon ARCHIMEDE. I (ACTIVITE) 1° Propriétés géométriques du segment de parabole 2° Duplication . II (COURS): Aire du segment de parabole par Archimède. B Quadrature du segment de parabole selon B. PASCAL. I (COURS) Démonstration par la méthode des « indivisibles » II ( TRAVAUX

une équation de la tangente T à la courbe C au point A d'abscisse 0 de C   g) Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] vers un intervalle J à préciser. Calculer alors .   h) Tracer C et T dans le repère orthonormal  précédent.    i) Par une intégration par parties, calculer .      En déduire l'aire en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C, l'asymptote (D) et les    droites d'équation x = -2 et x = 3.   Corrigé 2011 Détails Catégorie : Fonctions numériques   1)   et g est continue dérivable

FACULTE DE GENIE MECANIQUE ET DE GENIE DES PROCEDES Filière : GENIE DES PROCEDES Département : DE GENIE CHIMIQUE ET DE CRYOGENIE RAPPELS DE MECANIQUE DES FLUIDES Fait par : Y.K. BENKAHLA Année 2012/2013 1 Rappels de Mécanique des fluides 1. Dérivée particulaire dVx Vx Vx Vx Vx  Vx  Vy  Vz  dt x y z t    ( 2) (1) (1) où : (1) : représente la dérivée convective ; (2) : la dérivée instantanée ou locale. 2. Loi fondamentale de l’hydrostatique  gi  p 0 x i (2

Exercices 23 octobre 2014 Intégration et primitives Notion d’intégrale Exercice 1 Pour chaque fonction affine définie par morceaux f , représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l’intégrale I de f sur l’intervalle de définition de f . Cf 1.0 3 Cf 0.5 2 −3 −2 −1 O 1 2 3 1 −0.5 −1.0 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercice 2 Polynésie juin 2013 On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = (x + 2)e−x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un

pour U = R Puis!on a: ! @ OM @ OM ^ : @ @' ! ! ! @ OM @ OM ^ (cos2 ' cos ; cos2 ' sin ; cos ' sin ') = cos 'OM : @ @' Donc ! ! ! ! @ OM @ OM ! OM dS = U : ^ d d' = : cos 'OM d d' = R2 cos 'd d' @ @' R Ainsi: dS = R2 cos 'd d' 3) On a alors par intégration S = 4 R2 C’est l’aire de la sphère EXERCICE 10 RR Soit f: M(x,y,z) ! xz 2 : l’intégrale double K 0 = f (M )dS S S: sphère unité 6 On passe en coordonnées sphériques: x = R cos cos ' y = R sin cos ' z = R sin ';pour appartenant à [0; 2 ]; et '

1 n2 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n n t − [t] dt t 0 A+n t − [t] dt − t A t − [t] dt t Puisque A+n 1 1 1 + + ln 1 − n 3n 0 A+n t − [t] dt − t Enfin par la relation de Chasles x2 (1+x3 )n+2 dx. b) Jn − Jn+1 = x× En procédant à une intégration par parties justifiée par deux√convergences : Jn+1 = 3n−1 3n Jn . c) On pose vn = 3 nJn . A t − [t] 1 dt = t(t + n) n t − [t] dt t 0 A 1 A A+n t − [t] dt A n A on obtient quand A → +∞ donc la série de terme général ln vn+1 − ln vn converge

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire