Intégration Fiscale

. . . . . . . . . . . . I.F Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . I.G Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.H Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.I Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.J Calculs de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’intégrales : indications Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Poser u = √ t. 2. Poser u = ex . Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration par parties - Niveau

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x)

Remarques : Évidemment, si ¦ est négative sur [a, b] alors son intégrale est négative. Par contre, on ne peut rien dire, a priori, du signe de l'intégrale d'une fonction changeant de signe sur [a, b]. 3.2. Propriété Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) Si ¦ et g sont continues sur le segment [a, b] avec a  b alors : ¦  g sur [a, b] Þ ò b a ò ¦ (t ) dt  b g (t ) dt a Démonstration : Étudions d'abord le cas où ¦ et g sont positives (on a donc 0  ¦ 

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

Ch 9 : Calcul intégral – Notion de primitives Savoirs faire |Savoir … |Comment faire ? | | |. Si on connaît une primitive F de f sur [a ; b], alors | | |[pic] = F(b) – F(a). | |

que je veux calculer initialement. Mais, avec cette méthode, je tombe sur une intégrale tout aussi difficile à calculer... On va donc à nouveau transformer cette nouvelle intégrale : b ex cos(x) a dx On va utiliser à nouveau une intégration par partie. b b b ex cos(x) a dx = ex sin(x) a a ex sin(x) dx Cette fois, on a posé : Donc, dans ce cas : U(x) = ex U '(x) = ex et et V(x) = V '(x) = cos(x) sin(x) On remplace maintenant

) si x  0 g(x) =  .  0 si x  0 3) a) Montrer que g est positive sur IR. b) Montrer que g est continue sur ] –, 0 [ et sur [ 0, + [. c) En remarquant que, si l’on pose u’ (x) = – f (x), on peut choisir u(x) = 1 – F(x), montrer grâce à une intégration par parties, que 0  x h( x ) dx puis donner sa valeur. En déduire que X 0  g ( x) dx est une intégrale convergente et que 0  g ( x) dx = 1. d) Établir que g peut être considérée comme la densité d’une variable

sép—r—nt l9intégr—tion de son ™omp—nion di'érenti—tion en ex—min—nt les sommes et le pro™édé de l— limite pour déterminer une surf—™e donnéeF sl — étendu son idée en ™onsidér—nt toutes les fon™tions sur un interv—lle sur lesquelles le pro™essus d9"intégration" peut être —ppliquéF gette portéeD d—ns ™e nouve—u point de vue de ‚iem—nn v— ouvrir les portes pour l9invention d9—utres méthodes d9intégr—tion ™omme ™elle de ve˜esgueF hur—nt l— (n des —nnées IWSHD une des extension de l9intégr—le de ‚eim—nn —