Inégalités Redistribution

Les droits des femmes dans le travail évoluent particulièrement selon les besoins du monde du travail, elles sont souvent employées dans des postes à faible qualifications. Aujourd'hui, on observe encore des inégalités de salaire, de retraites, d'emplois.Les inégalités de salaire entre les hommes et les femmes atteignent 29,2 % en Europe, allant même jusqu’à 51% en Autriche. Ces écarts de rémunération s’expliquent en partie par le fait que les postes occupés par les hommes et les femmes ne sont pas

MATH-CHAPITRE 11: Distances & Lieux 1. Inégalité Triangulaire et Position Relative de 2 cercles 1.1 Inégalité Triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté -plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés -plus grande que la différence positive des deux autres côtés exemple: 7 2 3 7 >2+3 2 TANGENTS EXTÉRIEURS 01 02 = r1 – r2 ---> TANGENTS INTÉRIEURS 01 02 > r1 + r2 ---> DISJOINTS EXTÉRIEURS 01 02 < r1 – r2 ---> DISJOINTS INTÉRIEURS 01 02 = 0 ---> CONCENTRIQUES

de loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 5 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes) Des inégalités fameuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Vecteurs aléatoires

Module 1 : LES NOMBRES MOYENNES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES A. La moyenne arithmétique 1. Définition La moyenne arithmétique de deux nombres donnés a et b est leur demi-somme a +b 2 Exemple : J’ai acheté 2 x 1 500 litres de mazout cette année. La 1ère X, j’ai payé 8,46 F le litre. La seconde X, j’ai payé 9,82F le litre. En moyenne, j’ai payé 8,46 + 9,82 = 9,14 F le litre 2 La moyenne arithmétique de vitesse n’a de sens que quand on envisage la durée d’un trajet.

L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites monotones ; suites adjacentes : définition et théorème fondamental avec encadrement de la limite ; théorèmes des segments emboités . Suites réelles ou complexes : 8. Developpements

avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j = 1 ai j = j = i j i+j ij 1 i, j n ai 1 i j n 3. : (a) Calculer n min (i, j) . 1 i,j n n (b) En déduire la valeur de n max (i, j) , puis celle de 1 i,j n 1 i,j n |i − j| . 4. * Inégalité de Tchebychev : (a) Montrer que n 1 i<j n (b) En déduire que si a1 a2 ... (aj − ai ) (bj − bi ) = n an et b1 b2 ... n ak bk k=1 n ak − k=1 bk k=1 bn n i=1 ai n i=1 bi n n i=1 ai bi n n (autrement dit, lorsque deux séries de n

euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e Dans tout le paragraphe, E d´signe un espace pr´hilbertien r´el pour un produit scalaire (· |·). Pour e e e x ∈ E, la positivit´ du produit scalaire autorise ` poser x = (x |x). e a ´ ´ Proposition 1.11 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y ∈ E, on a : |(x |y)| x y avec ´galit´ si, et seulement si, la famille (x, y) est li´e. e e e D´monstration. • Pour x, y ∈ E donn´s, on a par bilin´arit´, sym´trie et positivit´ du produit e e e e e e scalaire

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé

non nul et n entier naturel supèrieur ou égal à n k. Montrer que le nombre 0, uk uk+1 uk+2 ... est rationnel. no 7 : (**) (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1 a k bk | ≤ a2 k k=1 k=1 b2 (inégalité de k c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr n n n 2) En déduire

2 3 → → a2 De même, AB . AD = . 2 → → → → → → → → → a2 a2 D'où : AB . CD = AB .( AD − AC ) = AB . AD − AB . AC = − =0 2 2 D A C B Donc les arêtes [AB] et [CD] sont orthogonales. On procède de même pour les deux autres. Théorème 2 Inégalité de Cauchy-Scwharz → → ¡ Pour tous vecteurs u et v , on a : |u.v | → → → → || u || || v || Démonstration : (dans le cas d'un produit scalaire quelconque, l'inégalité étant évidente pour le produit scalaire euclidien en utilisant