Inégalités Redistribution

simples. Ainsi V ⊂ U . Or P ∈ V et V est ouvert donc V est voisinage de P puis U est voisinage de P . Au final U est ouvert car voisinage de chacun de ses éléments. y∈F F est fermé et borné donc il existe a ∈ F tel que x − a = inf Or par double inégalité inf y∈F y∈F y∈F x−y . x − y = inf x − y et a ∈ F donc il existe a ∈ F tel que voulu. c. L’existence est assuré par b. Pour l’unicité, supposons par l’absurde l’existence de a = b solutions. Par a., on a x − a+b < x − a avec a+b ∈ A car

Année 2011-2012 Formulaire de Statistiques L2 AEI-AP Le taux de croissance : Le multiplicateur : Vt V0 Vt −V0 V0 = Vt V0 −1 = 1+taux de croissance Utilisation : Vt = M ultiplicateur × V0 Evolutions successives : Si c = a × b et si a croît au taux i tandis que b croît au taux j alors c connaitra une croissance de [(1 + i) × (1 + j) − 1] × 100. Evolutions successives : Si c = a et si a croît au taux i tandis que b b (1+i) croît au taux j alors c connaitra une croissance

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

cela signifie que : ∀x ∈ E, λx = |λ|. x . ∀λ ∈ R, (Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y, z ∈ E. ¬ ¬ ¬ ¬ x . y . (i) Inégalité de Cauchy-Schwarz : ¬(x|y)¬ Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Version norme : x+y x + y . (ii) Inégalité triangulaire : Version distance : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires

 L’égalité est l’une des devises de la France pourtant des inégalités existent. Les inégalités hommes – femmes sont les plus marquantes. Comment l’entreprise peut – elle réduire les inégalités hommes – femmes en France actuellement ? L’étude se déroulera en deux parties : Partie 1 : les inégalités hommes – femmes en chiffres. Partie 2 : Solutions mis en œuvre par l’entreprise pour réduire cette inégalité. 1 les inégalités hommes – femmes en chiffre. L’inégalité homme – femme se distingue

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.

Propriété 1. Changement d’échelle : soient a, b, c, d des constantes réelles. On a Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y ). Proposition 1. Expression de la variance d’une somme de variables : V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ). Proposition 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz : |Cov(X, Y )| ≤ σX σY . 22 Exemple : Dans l’exemple précédent du couple (T, P ), calculer les écart-types des deux variables et vérifier l’inégalité. Preuve de la proposition 2 : Pour tout réel a, on peut développer grâce

symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition Structure d'espace vectoriel pour l'ensemble des formes quadratiques(fq) 1.2.2 Polarisation Th : Si Φ est une forme quadratique, il existe une unique fbs φ associée à Φ (forme

applications « norme » et « distance » sont dites associées au produit scalaire sur E. Définition 19.1.3 (vecteurs unitaires) Soit E un espace préhilbertien réel. Un vecteur u de E est dit unitaire (ou encore normé) si u = 1. Proposition 19.1.4 (inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalite dite « de Cauchy-Schwarz » : |(u | v)| Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés. u v . Les deux exemples classiques

. . . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . .