Isomorphisme

(groupes, anneaux, etc.) qui respecte les structures, on dit qu’elle est un morphisme. Définition 9. Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F . On dit que l’application f est un : • morphisme si elle est linéaire, • isomorphisme si elle est linéaire et bijective, • endomorphisme si elle est linéaire et E = F , 14 Maths en Ligne Espaces vectoriels UJF Grenoble • automorphisme si elle est linéaire, bijective et E = F . Voici • • • • • • • • • •

et soit B ∗ = (α1 , ..., αn ) la base duale de V∗ correspondante, donnée par le théorème 10.5. D'après ce théorème, il est évident que l'application : ΘB est un isomorphisme entre : V ei B −→ → V∗ αi V et V ∗. choisie : en ce sens, il n'est pas canonique. Notons que cet isomorphisme dépend de la base B = (e1 , ..., en ) de V et sa base B ∗ = (α1 , ..., αn ) de V ∗ . Ces relations expriment les coordonnées de tout vecteur v (resp. forme ∗ linéaire f ) dans

de la logique chez l'enfant » (Bideaud, Houdé & Pedinielli, 1993, p. 36). Le développement de l'intelligence, selon Piaget, est alors celui d'organisations cognitives (des structures) dont les formes seront de plus en plus proches (tendance à un isomorphisme) des formes étudiées par le logicien et le mathématicien. Il est donc possible de prendre les modèles issus de la logique et des mathématiques pour formaliser les structures du développement cognitif de l'enfant. Pour bien comprendre la suite du

ÒÖÐ § ALGº½¿ (Transport de structure) ÅÓÒØÖ Ö Õ٠ʸ ÑÙÒ ´Ü Ý µ   Ü Ý Ð ÐÓ ´Ü¿ · Ý¿ µ½ ¦ Ð ℄ ´¼½µ ¾Ê On consid` ere Ü Ü½ ¿ qui est bijective. Pour tout Ü Ý , on a ´Ü · Ý µ½ ¿ ܽ ¿ ݽ ¿ , et donc ´Ü · ݵ ´Üµ ´Ýµ. L’application est donc un isomorphisme de ´ ·µ sur ´ µ, donc transporte la structure Ê § ALGº½ ËÓ Ø ÙÒ ÖÓÙÔ º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÑÓÖÔ ×Ñ ÖÓÙÔ ÉÙ Ð ×Ø Ð ÒÓÝ Ù ¨ 1) On v´ erifie que si proque est  ½ . ¾ , ¾ ¸ ÓÒ ÔÓ× Ò× Ð ÖÓÙÔ ÙØ´ µ   Ü  ×Ø ÙÒ ÖÓÙÔ º Ê ·µ sur ´Ê µ. L’´ el´ ement

conséquences. Modèles non-standards de l'arithmétique de Peano et de l'arithmétique complète. Théorèmes de Löwenheim-Skolem-Tarski. Etude de classes de structures: classes élémentaires et pseudo-élémentaires. 2. Relations entre des structures : isomorphisme, équivalence élémentaire, extension élémentaire. 3. Propriétés de théories: complétude, modèle-complétude, (-catégoricité. Relations entre ces notions (théorèmes de Vaught, Tarski-Vaught, Robinson). Bibliographie : VAN DALEN D., Logic and

+ α2 χ2 |(|ψ ) (3.4) pour tout ket |ψ de l’espace E. L’ensemble des formes linéaires (des bras) sur l’espace E est appelé l’espace dual de E et est noté E∗ . Quand E est de dimension finie, E∗ est de même dimension, et on peut donc trouver un isomorphisme entre ces deux espaces. Ce n’est pas nécessairement le cas en dimension infinie, comme discuté au paragraphe 3.1.3. Produit scalaire, norme : Le produit scalaire (hermitien) de 2 kets |χ et |ψ est noté (notation bra(c)ket) : χ|ψ . Il est hermitien

dans F. e Remarque 21 1. La compos´e de deux applications lin´aires est une application lin´aire. e e e 2. Si une application f de E dans F est bijective, f −1 est une application lin´aire de F dans E. On dit que f est un isomorphisme de E sur F. e 3. Un isomorphisme de E sur E est appel´ automorphisme . e Th´or`me 5.1.3 e e Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application de E dans F. Alors f (E) est un sous espace vectoriel de F et le noyau N = {x ∈ E /f (x) = 0F } est

l’image r´ciproque et l’image (puisque f (O) = e e −1 −1 (f ) (O)) de tout ouvert (resp. ferm´) est un ouvert (resp. ferm´). Ainsi un e e hom´omorphisme ´tablit une bijection entre O et O (resp. entre F et F ). e e Les hom´omorphismes sont les isomorphismes associ´s ` la structure ”espace e e a topologique”. D´finition 1.5.13. Si il existe un hom´omorphisme de (X, T ) sur (X , T ) on e e dit que (X, T ) et (X , T ) sont hom´omorphes. e Proposition 1.5.14. Deux topologies T et T sur un mˆme ensemble

ressemblent de plus en plus ont donc changé de nature. Quelles sont-elles ? Le nom que les auteurs donnent au processus d'homogénéisation est celui d'isomorphisme. The concept that best captures the process of homogenization is isomorphism. In Hawley's (1968) description, isomorphism is a constraining process that forces one unit in a population to resemble other units that face the same set of environmental conditions. (DiMaggio, Powell, 1983 :149) 111 Trois mécanismes peuvent être la base de son

instantanéité Il y a, en outre, une dissymétrie fondamentale entre narration et description en tant que formes d'imitation. La narration est une forme successive du discours qui renvoie à une succession temporelle d'événements. Il y a donc isomorphisme entre la forme temporelle des signes (le texte) et la forme temporelle du référent (l'histoire). Mais la description est une forme successive du discours qui renvoie à une simultanéité d'objets. Au XVIIIe siècle, le philosophe allemand G.E.