Kurtosis

affiche en général une préférence non triviale pour les moments d’ordre 3 et 4 des distributions de rentabilité (Skewness et Kurtosis), comme l’atteste d’ailleurs le développement de mesures de risque extrême telle que la VaR (voir ci-après). En effet, il est possible d’obtenir deux distributions de probabilité ayant la même moyenne et la même variance, mais des skewness et kurtosis entièrement différentes. Par exemple une mixture équipondérée d’une Gaussienne de moyenne 0.5 et d’écart type 0.5 et d’une

changement de ces rendements a une queue plus grosse. Donc des changements extrêmes arrivent plus fréquemment que prédit par l’hypothèse de la normalité de la distribution. Dans le cas du taux de change, les changements démontrent un coefficient de kurtosis négatif. Cependant, même si la vraie distribution n’est pas normale, l’approche par la variance donne de bons résultats. En règle générale, l’approche basée sur la variance arrive à expliquer le risque d’un portefeuille même si les distributions

` l’inf´rence e e e e a e statistique de ces mod`les ainsi qu’` l’usage qui peut en ˆtre fait : expliquer la dyname a e qiue des s´ries ´conomiques/financi`res et permettre la mise en oeuvre de pr´visions e e e e 1 http://www.wilmott.com/blogs/kurtosis/index.cfm/General 7 8 encadr´es par des intervalles de confiance. e ` TABLE DES MATIERES Il s’agit ensuite de pr´senter la base de la th´orie des s´ries temporelles : mod`le ARMA, e e e e GARCH et mod`les ` facteurs. L` encore, la principale

moindres carrés ordinaires utilisée dans la régression multiple. Pour vérifier cette propriété, nous utilisons le test de Skewness et Kurtosis (annexe 3 au point 6). Hypothèse et mode de décision H0: Erreurs normalement distribuées. Si (Prob>Chi2) > (Seuil = 5%) alors l’hypothèse H0 est acceptée. Les erreurs sont normalement distribuées. Résultat du test de Skewness/Kurtosis (Prob>Chi2) = 0,0773. L’hypothèse H0 est donc acceptée. Les erreurs sont normalement distribuées. 3.2 Test d’autocorrélation des

variance skewness µi = E(Yi,t) 2 σi = E Yi,t − µi 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 1 µi = T 1 2 σi = T 1 si = T 1 ki = T T t=1 Yi,t 2 T Yi,t − µi t=1 T t=1 T t=1 Yi,t−µi 3 σi Yi,t−µi 4 σi T t=1 K Yi,t−y h si = E ki = E Yi,t−µi 3 σi Yi,t−µi 4 σi kurtosis density f (y) = F ′(y) 1 f (y) = T h Descriptive statistics: Dependence 2.4 correlation = linear dependence Yi,t − µi ρij (k) = E σi sample counterpart 1 T −k Yi,t − µi ρij (k) = n t=1 σi Yj,t+k − µj σj Yj,t+k − µi σi remark: cross

d’autres termes, il s’agit de vérifier si les items mesurant les différentes variables du modèle ont une distribution proche de la distribution normale (courbe Laplace Gauss). Ainsi, les tests d’asymétrie (test de Skweness) et d’aplatissement (test de Kurtosis) ont été réalisés. Les résultats montrent que les données sont normales. Ensuite, nous avons purifié les items par l’application des tests de sphérificité, de mesure d’échantillonnage de Kaiser-Meyer-Olkin, et qualité de représentation en optant

distributions sont symétriques, on obtient le même résultat à gauche du support pour des valeurs très faibles de w (w < −1.5 environ). 9 L’excès de Kurtosis est défini en référence au moment d’ordre d’une loi normale centrée réduite. Si X suit une loi normale N µ, σ2 , la Kurtosis est égale à µ4 = 3σ 4 . Par convention, le degré d’excès de Kurtosis, défini par µ4 /σ 4 − 3, est nul. 10 Bien entendu, la différence entre les résultats des modèles probit et logit ne pourra être observée que si l’on dispose

estimateurs des MCO bi est de ¡0:1416; et que la dispersion est rela½ tivement importante puisque l’écart type des bi est de 0:117. De plus, les statistiques de ½ la Kurtosis, de la Skewness et de Jarque-Bera semble indiquer que la distribution n’est pas normale. En particulier, il semble que la distribution des bi soit non symétrique ½ (Kurtosis) et décalée vers la droite par rapport à la moyenne. Cette première analyse est con…rmée par l’examen de l’estimateur à noyau de la densité des bi et ce quel que

sous estimée. Pour remédier à ce problème, on peut utiliser une approximation de Cornish Fisher comme suit : zCornishFisher≈z+16z2-1S+124z3-3z(K-3)-136(2z3-5z)S2 Où z est le quantile normal à α : Nz=α  , S est l’asymétrie et K la kurtosis. Dans le cas de la loi normale (S=0, K= 3) d’où zCornishFisher=z La VAR de Cornish Fisher est donc Varα,T= zαCornishFisherσ. Mais avant d’appliquer cette approximation, on utilise souvent des tests d’ajustement, nous présentons ici

AR(1)/Ornstein-Uhlenbeck. Nous allons utiliser a ces mˆmes processus dans un premier temps. N´anmoins, comme l’indiquent les statise e tiques descriptives des facteurs (tableau 5), la distribution de ceux-ci n’est pas normale. En particulier, la valeur ´lev´e du kurtosis pour le premier facteur indique une concene e tration forte dans les queues de distribution. Pour tenir compte de ces ´l´ments, nous ee ajouterons ensuite une composante de sauts ` la mod´lisation de retour ` la moyenne14 . a e a Notons ´galement