Le Gai Savoir 344

|r2 − a| = |r − a| × |r + a| |r − a| × |r| + a √ √ |r − a| × 2 a + 1 Minorons |r2 − a|, en posant r = qp , a = mn . |r2 − a| = p q 2 − m np2 − mq2 = n nq2 1 nq2 La dernière inégalité provient que le numérateur np2 − mq2 n’est pas nul (sinon 344 √ a serait rationnel). On déduit de ces deux majorations : 1 nq2 Et donc : |r2 − a| √ |r − a| √ √ |r − a| × 2 a + 1 1 1 √ . n(2 a + 1) q2 √ Cette inégalité est aussi clairement vérifier si r − a > La constante C = √1 n(2 a+1) 1 . q2 convient

3807 M = X t Y −Y t X. Soit Z ∈ Mn,1 (R) tq (I + aM)Z = 0. Donc Z ∈ vect(X,Y ) : Z = λ X + µY . on remplace : (1 − at Y X)λ − at YY µ at XXλ + (1 + at Y X)µ CNS ⇐⇒ a2 (t XX t YY − (t XY )2 ) + 1 = 0. = = 0 0 Correction de l’exercice 3808 344 On a t AA − t CC = In . Soit X tel que AX = 0. Donc t XX = −t (CX)(CX), donc X = 0. Correction de l’exercice 3809 At A = (a2 + b2 + c2 + d 2 )I. Correction de l’exercice 3810 trigonaliser A dans une base orthonormée. Correction de l’exercice