Lemme

pour la fonction considérée u′ c = c . 2. Il est nécessaire de rappeler ici que µ désigne l’espérance de croissance du logarithme ˆ de la consommation, qui est différent de l’espérance µ du taux de croissance de la consom2 mation. En fait, par le Lemme d’Ito, on a que ˆ = µ + 0,5σ . Comme σ est petit, la différence µ est faible. REP 117 (2) mars-avril 2007 Comment intégrer le risque dans le calcul économique ? —————————— 215 Penchons-nous maintenant sur une question cruciale pour la problématique

précédente peut servir à prouver que K5 , qui est connexe, n’est pas planaire. En effet, s’il l’était, avec A = 10 et S = 5, la formule d’Euler F – A + S = 2 2A 20 entraînerait F = 7 ; mais alors, l’inégalité F ≤ 3 s’écrirait 7 ≤ , ce qui est absurde. 3 Lemme : Dans tout graphe planaire, on peut trouver un sommet de degré inférieur ou égal à 5. En effet, supposons par l’absurde que tous les sommets sont de degré ≥ 6 ; comme une arête est incidente à 2 sommets et qu’ici chaque sommet est incident à au moins

xα = eα nx donc (xα ) = (eα Donc (xα ) = α xα−1 nx ) = α x eα nx = α x xα = α xα−1 8 Remarque 0.13. Soit u une fonction, ( n |u|) = u u Comportement Global Th´or`me de ROLLE et Formule des accroissements finis : e e Lemme 0.14. Soit I un intervalle de R, f : I −→ R d´rivable e sur I. - Si f admet un extrˆmum (absolu ou relatif ) en xo ∈ I, alors e f ’(xo ) = 0. Interpr´tation du r´sultat : e e f (x1 ) = 0 f (x2 ) = 0 Remarque 0.15. f (x) = |x| O est un minimun

l’étudiant de s’entraîner, comme certains exercices du chapitre I. Il contient des résultats plus récents ou des preuves moins classiques que nous ne saurions citer tous, comme l’équation de Daugavet au chapitre VIII, la preuve par série de Neumann du lemme de Wiener ou les caractérisations de l’algèbre de Deddens au chapitre X, et les propriétés fines des contractions au chapitre VI. Précisons un point important : on donne d’abord tous les énoncés d’un chapitre, ensuite tous les corrigés des exercices

X) = V (X). Etudions maintenant la e e e variabilit´ totale des donn´es Y , qui sont la projection des donn´es X − X dans le e e e nouveau rep`re d´fini par la matrice orthonormale Q. Soit V (Y ) la matrice de covariance e e correspondante, alors : Lemme 3 1. V (Y ) = Qt V (X)Q e e 2. La variabilit´ totale des donn´es Y est la mˆme que celle des donn´es X − X. e e Preuve: 1 (Y − Y )t (Y − Y ) n 1 = Y t Y, (car Y est la matrice nulle) n 1 = ((X − X)Q)t (X − X)Q (par (4.1)) n 1 = Qt (X − X)t (X − X)Q

4 Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.5 Les moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Distribution, fonction de r´partition et densit´ . . . . . . . . e e 1.1.7 Loi conditionnelle et lemme des esp´rances it´r´es . . . . . . e ee 1.1.8 Fonction g´n´ratrice des moments et fonction caract´ristique e e e 1.2 Le petit monde tres ferm´ des convergences . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 Convergence en probabilit´ et presque sure . . . .

poser : a = cosh b avec b > 0. (a) Attention, le cercle C1 a ici un rayon R = 1. 2 (a) Faire alternativement le changement de variable t = eu et t = e−u . (b) La valeur de l’intégrale vient à travers celle sur ge qui sera évaluée à l’aide du 3e lemme de Jordan. Problème 4.5 Suivre l’évolution de la détermination de z a le long du contour. Pour l’application des lemmes de Jordan il est suggéré de majorer |z f (z) | sur un cercle de rayon r (0 < r < ∞) puis d’étudier cette majorante tour à tour

Lagrange-Dirichlet Analyse de la qualité de l'énergie potentielle Bifurcation de l'équilibre Exemple 1 : le flambement Exemple 2 : le snapping 167 167 168 169 170 173 174 175 177 Chapitre 16 MODES NORMAUX 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 Généralités Lemme de diagonalisation simultanée Le tenseur de transformation Expression générale de l'énergie cinétique Linéarisation et découplage des équations d'équilibre Modes normaux Description qualitative des modes normaux 179 179 180 180 182 183 184 Chapitre

d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v). En vue du prochain r´sultat, introduisons la distance suivante, d´finie sur e e X = {N −→ S} : 1 . d(f, g) = 2n {n|f (n)=g(n)} L’ensemble S consid´r´ ici est celui qui intervient dans l’axiome du choix ee d´pendant. e Lemme. La fonction d d´finie ci-dessus est bien une distance sur X. e D´monstration. V´rifions les trois axiomes r´gissant la notion de distance. e e e 1 1. d(f, g) = 0 ⇔ {n|f (n)=g(n)} 2n = 0 ⇔ {n|f (n) = g(n)} = ∅ On a donc f (n) = g(n) pour tout n. 15

par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, pouvant porter les noms de théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement déductif. Bien que les résultats mathématiques soient des vérités