Lemme

composé d’une grande variété d’entreprises dont une petite partie seulement met en œuvre une réelle stra- tégie de luxe. Le luxe s’est transformé avec le temps. Kapferer (2014) évoque la transforma- tion du secteur comme la résolution d’un di- lemme entre croître et maintenir une stratégie de luxe. Plusieurs tactiques sont alors mises en œuvre par les marques de luxe pour maintenir leur statut de prestige et répondre aux objec- tifs de croissance de leur chiffre d’affaires. Les stratégies

substances alimentaires, les combustibles, les matières premières ; les autres sont des capitaux artificiels. Nous userons, en temps et lieu, de la faculté que nous donne cette circonstance de classer les capitaux artificiels parmi les produits65. 3. LEMME I. — Le propriétaire d'une chose est propriétaire du service de cette chose. Qui peut le plus peut le moins. Celui qui a le droit de consommer une chose immédiatement a le droit de la consommer à la longue, autrement dit, d'en consommer seulement

∂t1 ∂t2 existe en t1 = t2 = t0 . Démonstration. Nous allons utiliser le critère de Cauchy pour la convergence en moyenne quadratique. On admet le lemme suivant : "Une suite de variable aléatoire Xk converge en moyenne quadratique si et seulement si ∀k, l, E (Xk Xl ) a une limite finie lorsque k et l tendent indépendamment vers plus l’infini". Ce lemme, appliqué à u, nous dit que limh→0 u(t0 +h)−u(t0 ) existe (c’est-à-dire u(.) est dérivable en h moyenne quadratique en t0 ) si et seulement si lim

ÔÒ Ô  Ò Ò  est le nombre de parties de cardinal dans un ensemble ¦ Ò ℄ Ô dans un ensemble de cardinal Ò, sauf que chaque e´l´ement de l’ensemble peut faire partie de ou de , donc on a ¾Ô choix possibles. On fait une injection, et on utilise le lemme des bergers.   de cardinal Ò, multipli´e par le nombre de parties de cardinal Ô dans le reste de l’ensemble (de cardinal Ô .) C’est donc le nombre de parties de cardinal   § DENº Ä × ½µ ÙÜ ÕÙ ×Ø ÓÒ× Ò ×ÓÒØ Ô × Ò Ô Ò ÒØ ×º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ

optimale lorsque U est CARA : Dans ce paragraphe, nous visons à simplifier le problème en supposant que la fonction d’utilité est du type CARA. A l’aide du lemme 1, nous remplaçons les [n(n+1)] contraintes d’incitation par une seule. Cette simplification permet de mieux caractériser les termes du contrat et d’approfondir les résultats. Lemme 1 : Lorsque la fonction d’utilité de l’assuré est CARA, et si on a : IA(xi) > IA(xi) > IA(xˆi) avec IA(xˆ) = inf {IA, IA(xi), xi ∈ X } (1) et que : U( W0 −

(X) qui tient compte de la variation de X dans chaque classe. Pour calculer ce terme complémentaire, il faut calculer la variance d'une variable répartie uniformément sur un intervalle. Lemme. La variance d'une variable statistique répartie uniformément sur un intervalle de longeur a est Démonstration du lemme. On peut utiliser la formule de la variance : la variance est égale à la moyenne du carré moins le carré de la moyenne. La moyenne du carré est = = 2 . x 2 dx = = [ (ei + a) 3

(X) qui tient compte de la variation de X dans chaque classe. Pour calculer ce terme complémentaire, il faut calculer la variance d'une variable répartie uniformément sur un intervalle. Lemme. La variance d'une variable statistique répartie uniformément sur un intervalle de longeur a est . Démonstration du lemme. On peut utiliser la formule de la variance : la variance est égale à la moyenne du carré moins le carré de la moyenne. La moyenne du carré est x 2 dx = = = [ (ei + a) 3 – ei 3 ] = (3

a pas en général monotonie de la demande en information lorsque l’on fait varier l’aversion pour le risque ou la volatilité de l’aléa. On note : qui représente l’évaluation de la demande apès l’observation du signal s (preuve dans l’appendice, lemme 1). On note : e0 = a0 + a σ2 a (s − a0 ) 2 + σ2 σa η (3) 58 σ2 = θ σ2 σ2 a η 2 + σ2 σa η (4) la variance résiduelle de l’aléa après l’observation du signal. Proposition 1 L’optimum de 1er rang correspond à : q= l’espérance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Première démonstration du théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rappel sur le lemme de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Définition de la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2

brownien géométrique, tel que, dans l'univers risque neutre : dS ˆ = r ⋅ dt + σ ⋅ dW S où W représente un brownien standard de valeur nulle à l'instant 0, r le taux d'intérêt sans risque et ^ σ la volatilité de l'action. L'utilisation du lemme d'Itô, suivie d'une intégration, permet d'exprimer la valeur de l'action, à une date future T , en fonction de sa valeur en t : ⎡⎛ 1 ⎞ ˆ ˆ ⎤ S (T ) = S (t ) ⋅ exp ⎢⎜ r − ⋅ σ ² ⎟ ⋅ (T − t ) + σ ⋅ W (T ) − W (t ) ⎥ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ Avec ( ) ˆ W