Lemme

notions et les résultats fondamentaux de la théorie des catégories; savoir les appliquer dans divers domaines des mathématiques. Contenu : catégories et foncteurs. Morphismes fonctoriels. Équivalences de catégories. Foncteurs représentables, lemme d'Yoneda. Foncteurs adjoints. Limites inductives et projectives. Catégories additives et foncteurs additifs. Catégories abéliennes. Catégories triangulées et catégories dérivées. MAT 712 3 cr. Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer

µp tel que Ep[f ] = 〈f, µp〉 sous les conditions :        k(·, ·) mesurable Ep[ √ k(x, x)] < ∞ (4.1) Ep[f ] = ∫ f(x)p(x)dx = ∫ f(x)〈p, k(x, ·)〉dx = ∫ f(x)〈p, k(x, ·)〉dx = ∫ f(x)Ep[k(x, ·)]dx En d’autre termes, on a que : µp = Ep[k(x, ·)]. Lemme. Arthur Gretton et al. (2012) 21Sous les conditions énoncées ci-dessus en 4.1 on a : [ sup ‖f‖H≤1 (Ep[f(x)] − Eq[f(y)]) ]2 = ‖µp − µq‖ 2 H En effet : MMD2 = [ sup ‖f‖H≤1 (Ep[f(x)] − Eq[f(y)]) ]2 = [ sup ‖f‖H≤1 〈µp − µq, f〉 ]2 = ‖µp − µq‖ 2 H Estimateur

Définition : $ e( p , u ) ≡ ∑ p h x h e( p, u ) ≡ p1h1 ( p1,..., pl, u ) + p2 h2 (L) +...+ pl hl (L) Propriétés de e 1. e est une fonction continue 2. e est non décroissante en p 3. e est concave en p 4. e est homogène de degré 1 en p h =1 l 1.5.4 Le Lemme de Shephard 31 $ Soit x r = hr ( p1 ,..., p l , u ) la demande compensée ou Hicksienne pour le bien r. Cette fontion peut être obtenue de la fonction de dépense car : $ x r = hr ( p , u )= ∂e(p ,u ∂pr ) r = 1, 2, ... , l Remarques La demande

est possible d’utiliser la relation (36) pour obtenir une expression macroéconomique de la prime de risque. Lorsque les consommations aléatoires ci sont normalement distribuées, un théorème s du à Rubinstein [1976] [Rub76] (approfondissant le lemme de Stein [Ste73]) assure que : ´ ³ ³ ¡ ¢ ´ £ ¡ ¢¤ i 0 e e = E u00 ei .cov ei , R c c cov ui e , R i c (37) Remarque 3 Ce résultat est exactement vrai pour des variables normales. Mais lorsque la variable ei varie suffisamment peu,

pour empêcher cette baisse afin de soutenir le revenu des paysans. Quelle somme faut-il donner au consommateur pour le compenser de cette baisse qui n’a pas eu lieu ? Ce montant est appelé la variation équivalente : EV=Cpou1 - C(p1u1) D’après le lemme de Shephard, la dérivée de la fonction de coût par rapport au prix donne la fonction de demande conditionnelle ou demande compensée : ∂C(p,uo)∂pi= C(p, uo) On parle aussi de demande hicksienne, en l’homme de Hicks. La demande usuelle est alors appelée

29et30. -12- Brignon. J, Histoire du Maroc, Hatier, 1967, P. 215. -13- Brignon. J, ibid. -14- M. Grevisse et A. Goosse, Le Bon Usage, De Boeck-Duculot, Bruxelles, 2008, P.687 -15- M. Grevisse et A. Goosse, Le Bon Usage,ibid. -16- En linguistique, un lemme est une unité autonome constituante du lexique d'une langue . -17- Oscar Bloch et Walther Von Wartburg, Dictionnaire étymologique de la langue française, Presses universitaires de France,cinquième édition revue et augmentée, 1968. 25 Le code switching

chose et non celles d’autres choses). Il pourrait sembler s’agir alors d’une distinction entre modes ou niveaux d’organisation et de complexité – selon Spinoza, on peut estimer que la Nature entière forme un seul individu (Éthique , II, prop. XIII, lemme VII) –, non d’intuitions sémantiques différentes et parfois conflictuelles. Mais il convient de rappeler que l’identité «numérique» advient au fleuve, au corps ou au bateau de Thésée, du fait de l’identité «qualitative» de leurs formes et fonctions

utilisera le th´eor`eme g´en´eral suivant. Lemme 1.1 Soit un vecteur u compos´e de n variables al´eatoires d’esp´erances nulles, et tel que var(u) = σu2 I, et A une matrice sym´etrique non-al´eatoire, alors E(u′ Au) = σu2 trace(A) D´ emonstration ′ E(u Au) = n ∑ aii E(u2i ) + i=1 n ∑ n ∑ i=1 σu2 aij E(ui uj ) . j=1 j̸=i 0 Or E(ui uj ) = 0, quand j ̸= i. Donc, n ∑ E(u′ Au) = aii E(u2i ) = n ∑ aii σu2 = σu2 trace(A). i=1 i=1 Grˆace au lemme 1.1, on peut calculer l’esp´erance de e′ e

matrices inversibles n’est pas toujours une matrice inversible. Par example :   1 0 0 1   + −1 0 0 −1   = 0 0 0 0  . Détermination pratique de l’inverse d’une matrice carrée inversible Lemme 3.29. Soient A, B ∈ Mn,p (K) si AX = BX, ∀X ∈ Mp,1(K) alors A = B. 31 3 . Matrices A    Comment chercher l’inverse d’une matrice  carrée A ∈ Gl n(K) : Soit  x1  .  = (aij ) 1≤j≤n ∈ GL(n)(K). On introduit X =  .  ∈ Mn,1(K)

x est récurrent, N (x) est inni avec probabilité 1 sous Px , donc évidemment Ex (N (x)) est inni. On note que, dans le cas où (Xn )n≥0 est une suite de variables aléatoires i.i.d., le critère ci-dessus correspond simplement à l'application du lemme de Borel-Cantelli. Exercice 71 On utilise vraiment la propriété de Markov pour prouver le résultat cidessus. Pour une suite de variables aléatoires quelconque telle que X0 = x, le fait que +∞ i=1 P (Xi = x) = +∞ (ou, de manière équivalente, le