Lemme

L’essentiel Annexe 1. Les processus de diffusion et leurs applications 1. Notion sommaire de processus stochastique 2. L'évolution des cours boursiers 3. Le processus de Wiener général 4. Le processus d'Itô Annexe 2. Le Lemme d’Itô et les cours boursiers 1. Le Lemme d’Itô 2. Applications aux cours boursiers 3. La log-normalité des rendements 4. La distribution des taux de rendement Annexe 3. Le changement de probabilité et le théorème de Girsanov 1. La probabilité équivalente 2

outils standard de modélisation et de résolution algorithmique de l'optimisation continue. Programme : Modélisation par la programmation linéaire. Algorithme de simplex, Complexité, et Interprétation géométrique. Dualité en programmation linéaire, Lemme de Farkas et analyse de sensitivité. Logiciel de programmation linéaire. Volume des enseignements Heures en présentiel Cours Magistraux Travaux Dirigés Travaux Pratiques Cours intégrés TD sur machine 10 14 0 0 0 Page 3 / 52 - 12/03/2013 Accompagnement

= Remarque 3.28. La somme de deux matrices inversibles n’est pas toujours une matrice inversible. Par example :   1 0 0 1   + −1 0 0 −1   = 0 0 0 0  . Détermination pratique de l’inverse d’une matrice carrée inversible Lemme 3.29. Soient A, B ∈ Mn,p (K) si AX = BX, ∀X ∈ Mp,1(K) alors A = B. 31 3 . Matrices A    Comment chercher l’inverse d’une matrice carrée  A ∈ Gl n(K) : Soit x1   = (aij ) 1≤j≤n ∈ GL(n)(K). On introduit X =  ...  ∈ Mn,1(K) et Y = 1≤i≤n

1 4nα2 In = 0 xn e−(1−i)x dx c) Soit f : [0, 1] → R continue. On pose n c) En déduire qu’il existe f dans C([0, +∞[ , R) non nulle, telle que, pour tout n dans N, on ait +∞ xn f (x) dx = 0 f k n 0 fn (x) = k=0 Bn,k (x) Lemme de Baire Exercice 80 [ 03152 ] [correction] Soit f : [1, +∞[ → R une fonction continue vérifiant ∀x ∈ [1, +∞[ , f (nx) → 0 Montrer que f converge vers 0 en +∞. Montrer que (fn ) converge uniformément vers f sur [0, 1]. Exercice 78 [ 01146 ] [correction]

n’est pas born´ee, pour justifier l’´ecriture diff´erentielle et l’utilisation de la formule d’Itˆo, nous avons besoin de propri´et´es d’int´egrabilit´e, que l’on v´erifie facilement grˆace aux propri´et´es des exponentielles de variables gaussiennes. Lemme 2.3.1 La transform´ee de Laplace d’une v.a. gaussienne U de moyenne m et de variance γ 2 est donn´ee par 1 E [exp(λU )] = exp λm + γ 2 λ2 (2.3.3) 2 En particulier, si W est un mouvement brownien, 1 E exp λWt − λ2 t 2 =1 (2.3.4) 30 Dea de probabilit´es-Option

(Bondy, Chvatal 1976) : pour que G soit hamiltonien, il faut et il suffit que [G]N soit hamiltonien. Théorème (Erdös- Chvatal 1972) : soit G un graphe h-connexe (h  2). Si le nombre de stabilité (G) vérifie : (G)  h, alors G est hamiltonien. Lemme :si G est h-connexe et si A={a1,…,ah} X est un ensemble de h sommets distincts ;pour tout sommet x  X-A, il existe h chaînes élémentaires joignant x à chacun des ai et ayant x comme seul sommet commun. Corollaire : si ([G]N)  h([G]N), alors G

2 E : (a) = 0 et (0) = 0g sous espace vectoriel parallèle D’après le chapitre 1: ' est un extremum local de Jn \F ; ) dJ' nF0;0 = 0: 10 Pour 2 F0;0 , dJ' ( ) = Z a b @L (x; '(x); '0 (x)) @y d dx @L (x; '(x); '0 (x)) @y 0 (x)dx: De plus (lemme fondamental du calcul des variations) : 8 2 F0;0 ; A : [a; b] ! Rn une fonction continue alors Z b A(x) (x)dx = 0: ) A = 0 a . On obtient alors le résultat central de ce chapitre dJ'nF0;0 = 0: , d dx @L (x; y; y 0 ) 0 @yj @L (x; y; y 0 ) = 0;

y ) = inf {x ∈ R F ( x) ≥ y} La technique de l’inversion de la fonction de répartition F permet à partir de réalisations de variables suivant une loi définie, de simuler des réalisations d’autres variables aléatoires. On utilise alors le lemme suivant : • Lemme : Si U est une variable aléatoire de loi uniforme U [0 ; 1], alors F −1 (U ) a même loi que X. De plus, si F est continue sur R, alors F(X) suit la loi uniforme U [0 ; 1]. 55 /82 Régis LAVERDURE Mémoire ULP 2008 Pilotage d’un régime

dernier cas est celui où il existe une fonction de de Lyapounov, c’est-à-dire une fonction W : Rd → [1, +∞[, telle que W −1 ([1, M ]) est compact pour tout 1 M < +∞ et vérifiant f (x) · ∇W (x) En effet, on a alors c < +∞. a(t) + L(t)M (t), d’où, par le lemme de Gronwall, Lj t å ˆ t 0 M (t) a(s) exp L ds. 0 s 32 3 Intégration numérique des équations différentielles ordinaires d W y(t) = f · ∇W (y(t)) c, dt ce qui montre que W (y(t)) W (y0 )ect , et assure ainsi que la norme de la solution ne peut

et a n − 1 arˆtes e 4. G est sans boucle et pour tous sommets x, y, x = y, il existe une unique chaˆne reliant x ı ay ` Preuve : elle repose en partie sur les deux lemmes et la propri´t´ suivants ee Lemme 2.1 un graphe non orient´ connexe d’ordre n a au moins n-1 arˆtes. e e Lemme 2.2 un graphe non orient´ d’ordre n qui a au moins n arˆtes poss`de un cycle. e e e Propri´t´ 2.3 Soit G un graphe non orient´ d’ordre n, a m arˆtes et p composantes connexes. e e e ` e G est sans cycle