Lemme

R Mathématiques 1 Les suites réelles Vocabulaire des ensembles Groupes I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. I. II. III. IV. V. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. Nombres entiers naturels Lemme d’Archimède Parties majorées Intervalles de R Ouverts de R Intérieur d’une partie Fermés de R Adhérence d’une partie Densité Frontière Points d’accumulation, Séparation Compacts de R Topologie de R U {-∞, +∞} Suites convergentes Théorème des segments

* y = PX [(U + 1)0,5 (PY / PX)0,5 - 1] + PY [(U + 1)0,5 (PX / PY)0,5 - 1] => R(H) = 2 (U + 1)0,5 PX0,5 PY0,5 - PX - PY En appliquant cette relation aux valeurs de la période initiale, on retrouve la valeur R(H) = 817,13. On démontre par ailleurs (lemme de Shephard) que la dérivée de la fonction de revenu compensé par rapport au prix de l'un des biens est égale à la demande compensée de ce bien. On a ainsi la demande compensée de X lors de la variation de son prix de 12 à 8 : dR / dPX = (U + 1)0,5

Démonstration de l’aburdité de la conception naïve de la liberté [=CNL] :Admettons que la liberté consiste à pouvoir faire tout ce que l’on peut vouloir faire, à exploiter le maximum des possibilités qui nous sont ouvertes par et dans l’action. Lemme : Quand on agit, la plupart du temps on peut indiquer des raisons d’agir. En vertu de la CNL, celui qui serait libre serait celui qui exploite le maximum de toutes les possibilités, c'est-à-dire celui qui agit suivant un maximum de raisons parmi toutes

On peut ainsi définir ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f , , , quatre nouvelles fonctions de deux variables… Heureusement, on limite les dégâts ∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 grâce au résulta suivant : Pour une fonction de classe C1 , les dérivées partielles Théorème 1. (Lemme de Schwarz) : Lorsque nues, on a ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f , , sont des fonctions conti∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 ∂2 f ∂2 f = . On dit dans ce cas que f est de classe C 2 . ∂x∂y ∂y∂x C’est toujours ça de gagné. Comme pour les fonctions d’une variable il est

mise en équation : Lemme : ∀D, D − − si f (→, t) est continue par rapport à → et par rapport à t, et si on a : x x →, t)dτ = 0, alors f (→, t) = 0. − − f( x x On envisagera toujours un domaine D fictif (créé par la pensée) de surface Σ, arbitraire, fixe par rapport à R, traversé par le fluide, et on traduira les principes pour le fluide contenu dans D à t. − Chaque principe conduit à un bilan intégral de la forme B(→, t) dτ = 0. Et on en déduit la x − loi locale (grâce au lemme ci dessus) : B(→

(2004), p. 81-104. 95 Les résultats sont donnés dans le TABLEAU 3. La distribution limite du test de lambda-min sous l’hypothèse nulle aussi bien que sous l’hypothèse alternative dépend de la valeur de m ; m est obtenue de façon optimale par le lemme 5 dans Bierens (1997b). En conclusion nous avons un seul vecteur de cointégration (0,0841 ; – 0,4919 ; 0,0314 ; 0,2279 ; 1,000)’. Tableau 3 Nombre de relations de cointégration à la Bierens (1997b) r 0 1 2 3 4 5 ˆ gm ( r ), m = 5 19,34 E + 006 31

pour le 6°, z0 est racine de P ⇔ ∃ p∈* et ∃ Q∈[X] / P = (X − z0)pQ ⇒ P = (X − z 0 )pQ. Corollaire Soit P un polynôme de [X]. Si z0∈ est racine de P alors z 0 est racine de P. Démonstration Découle directement de ce qu'il y a au dessus. Lemme Soit C un polynôme de [X] et soient A et B deux polynômes de [X]. Si A = BC alors C∈[X]. Démonstration Si A = a0 + a1X + .....+ anX n, B = b0 + b1X + .....+ bpX p et C = c0 + c1X + .....+ cqX q. Soit j le plus indice tel que cj∉. On a a j

numériques 2 2 3. En déduire que les séries |cn (f ) | et |c−n (f ) | sont convergentes. 4. Montrer que pour toute fonction continue par morceaux g : [−p, p] → C, p p n→+∞ lim g(t) sin (nt) dt = lim −p n→+∞ g(t) cos (nt) dt = 0. −p (Lemme de Riemann-Lebesgue) 5. Calculer, pour tout réel t n Dn (t) = k=−n p eikt . 6. Montrer que lim n→+∞ t2 Dn (t) dt = 0. (−1)k+1 et de k2 +∞ −p +∞ 7. En déduire la valeur de k=1 k=1 1 · k2 14. Encore la constante d’Euler

puissance 1 ( 0) des deux membres donne finalement =1  ≡ Ã X =1    !1 ≤ Ã X =1    !1 ≡  (3)     0. Comme 0  −  −, du point (2) on a − ≤ − pour toute couple ( ). On applique alors le Lemme 8 et on obtient  ≤  . Corollary 10 La moyenne harmonique est toujours plus petite de la moyenne géométrique qui, à son tour, est toujours inférieure à la moyenne arithmétique, qui, enfin, est toujours dominée par la moyenne quadratique. Formellement

r´injectant ces deux in´galit´s de part et d’autre de (2.12) et en simplifiant par u − uh e e e on obtient M u − uh ≤ u − vh ∀vh ∈ Vh (2.13) α c’est ` dire a M d(u,Vh ) (2.14) u − uh ≤ α o` d est la distance induite par . . Cette majoration est appel´e lemme de C´a. Elle u e e ram`ne l’´tude de l’erreur d’approximation u−uh a l’´tude de l’erreur d’interpolation d(u,Vh ). e e ` e 2.5 Principe g´n´ral de la m´thode des ´l´ments finis e e e ee La d´marche g´n´rale de la m´thode des ´l´ments finis est