Lemme

Dans un arbre binaire, chaque nœud peut avoir z´ero, un ou deux fils. Les arbres dont aucun nœud n’a un seul fils ont une importance particuli`ere. D´ efinition 3.8 On appelle arbre binaire strict un arbre dont tous les nœuds ont z´ero ou deux fils. Lemme 3.1 Soit un arbre binaire dont les K feuilles ont pour ordre n1 , . . . , nk . Alors K 2−nk ≤ 1. k=1 ` CHAPITRE 3. CODAGE DES SOURCES DISCRETES 28 Et si l’arbre est binaire strict, on a K 2−nk = 1. k=1 preuve : Nous d´efinissons le poids de

X ∪A Y est un complexe de Poincaré rationnel et possède une unique classe d’orientation notée x + y ∈ Hn (Z; Q) induisant respectivement les classes x et y dans Hn (Z, Y ; Q) ∼ Hn (X, A; Q) = et Hn (Z, X; Q) ∼ Hn (Y, A; Q). = Proposition 2.22 [3, Lemme 2.1.5] Si (X, A) et (Y, A) sont deux paires de Poincaré rationnelles compatibles de dimension 4r et de classes d’orientation respectives x et y, alors leur recollement X ∪A Y satisfait l’équation τ (X ∪A Y, ∅, x + y) = τ (X, A, x) + τ (Y, A, y). (2

probabilit´ est la distribution e des probabilit´s, ou loi de probabilit´. Une distribution est dite uniforme si tous e e les ´v`nements ont une mˆme probabilit´ d’occurrence. e e e e Le lemme dit de Gibbs est un r´sultat sur les distributions discr`tes qui nous e e sera utile plusieurs fois dans cet ouvrage. Lemme 1 (de Gibbs). Soient (p1 , . . . , pn ), (q1 , . . . , qn ) deux lois de probabilit´ discr`tes. e e n qi 0. pi ∗ log pi i=1 Preuve. On sait que pour tout x ∈ R+ , ln(x) ∗ n x − 1

théorème de Bézout, p ∧ (ab) = 1. p(p − 1)...(p − k + 1) p! p (b) = . = k k!(p − k)! k! p k! = p(p − 1)...(p − k + 1). Donc k p k!. (3) donc p | k Or, ∀k ∈ 1, p − 1 , p ∧ k = 1 (car p est premier) donc, d’après 1.(a), p ∧ k! = 1. p Donc, d’après le lemme de Gauss, (3) =⇒ p | . k 2. (a) Procédons par récurrence sur n. Pour n = 0 et pour n = 1, la propriété est vérifiée. Supposons que la propriété (Pn ) : np ≡ n mod p soit vérifiée au rang n. p−1 Alors, d’après la formule du binôme de Newton, (n + 1)p

th´or`me g´n´ral suivant. e e e e e 79 2 Lemme 6.1 Soit un vecteur u compos´ de n variables al´atoires d’esp´rances nulles, et tel que var(u) = σu I, e e e et A une matrice sym´trique non-al´atoire, alors e e 2 E(u′ Au) = σu trace(A) D´monstration e E(u′ Au) = n ∑ i=1 aii E(u2 ) + i 2 σu n n ∑∑ i=1 j=1 j̸=i aij E(ui uj ) . 0 Or E(ui uj ) = 0, quand j ̸= i. Donc, E(u′ Au) = n ∑ i=1 aii E(u2 ) = i n ∑ i=1 2 2 aii σu = σu trace(A). Grˆce au Lemme 6.1, on peut calculer l’esp´rance de e′ e

c’est souvent la solution la plus simple qui est la bonne ! 47 Nous aurons besoin dans la suite d’un petit lemme d’alg`bre tr`s simple. e e Lemme 6.4.1 Soient a, b des q-nombres (des ´l´ments d’une C-alg`bre quelconque), tels que leur comee e mutateur soit une constante α ∈ C, i.e. [a, b] = ab − ba = α . Alors pour tout polynˆme P , on a : o [a, P (b)] = αP (b) Preuve du Lemme: La d´monstration se fait par r´currence sur le degr´ du polynˆme. Par lin´arit´ e e e o e e du commutateur, on peut

flexionnels et dérivationnels Les analyseurs flexionnels et dérivationnels peuvent intervenir sur deux niveaux d’un SRI. Ils peuvent être appliqués pour l’indexation des documents et requêtes. L’appariement entre document et requête s’effectue sur la base du lemme (pour les analyseurs flexionnels) ou sur la base de la racine (pour les analyseurs dérivationnels). Aussi, ils peuvent être appliqués pour l’extension des requêtes. Il s’agit d’acquérir les lemmes des termes des requêtes et d’enrichir ces dernières

born´e, pour justifier l’´criture diff´rentielle et l’utie e e lisation de la formule d’Itˆ, nous avons besoin de propri´t´s d’int´grabilit´, que l’on v´rifie o ee e e e facilement grˆce aux propri´t´s des exponentielles de variables gaussiennes. a ee Lemme 2.3.1 La transform´e de Laplace d’une v.a. gaussienne U de moyenne m et de variance e 2 est donn´e par γ e 1 E [exp(λU )] = exp λm + γ 2 λ2 (2.3.3) 2 En particulier, si W est un mouvement brownien, 1 E exp λWt − λ2 t 2 =1 (2.3.4) 30 Ce graphe

cooccurrentiel d’une autre manière. Prenons un item lexical, ciel, un des lemmes les plus fréquents du corpus leclézien. Grâce à Hyperbase nous faisons une extraction du contexte immédiat, ici le paragraphe, qui entoure les 2949 occurrences du lemme ciel. L’extraction automatique du contexte d’un item lexical permet la création d’un sous-corpus qui est soumis à un calcul de spécificité, puisqu’on ne recherche plus une relation entre un mot et un texte, mais une relation privilégiée entre les

représenté comme un point fixe. Une application f d’un ensemble X vers lui-même admet un point fixe si x0 appartenant à X est sa propre image par f : x0 = f(x0). Si l’on considère l’application r(s) = r1(s-1),…, rn (s-n)) de S vers S, on a alors le lemme suivant : si l’application r(s) possède un point fixe, ce point est équilibre de Nash du jeu, et réciproquement. - supposons d’abord que s* soit un équilibre de Nash. Alors, pour tout i = 1,…, n, on a s*1 = r(s*-1) ce qui implique que s* soit un point