Lemme

, a3 ). Exemple. Soit g : Rn → Rn une fonction d´rivable et telle que e γ = sup{ g (x) | x ∈ Rn } < Alors la fonction f : Rn → Rn d´finie par e f (x) = x + g(x) est bijective. Dans le cas o` g(x) = Ax est lin´aire, cela r´sulte du lemme suivant : u e e 73 1 . n Lemme 1 Si A < 1, I − A est inversible et +∞ (I − A)−1 = k=0 Ak . D´monstration. e On a l’identit´ e I − AN = (I − A)(I + A + A2 + · · · + AN −1 ). Puisque Ak ≤ A k et puisque la s´rie e +∞ Ak k=0 est convergente

´evidemment vraie. Fixons ε > 0. Puisque la suite (xn ) tend vers a il existe un entier N tel que si n ≥ N alors |xn − a| < 2ε . De mˆeme il existe N tel que si n ≥ N alors |yn − b| < 2ε . Alors si n ≥ max(N, N ) on a |zn − | ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε. Lemme 3.5.1 (In´ egalit´ e triangulaire) Pour tout z, z ∈ C on a les in´egalit´es ||z| − |z || ≤ |z − z | ≤ |z| + |z |. D´emonstration. Posons z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x , y r´eels. L’in´egalit´e |z − z | ≤ |z| + |z | s’´ecrit (x − x )2

Dans un arbre binaire, chaque nœud peut avoir z´ro, un ou deux fils. Les arbres dont e aucun nœud n’a un seul fils ont une importance particuli`re. e D´finition 3.8 On appelle arbre binaire strict un arbre dont tous les nœuds ont z´ro ou e e deux fils. Lemme 3.1 Soit un arbre binaire dont les K feuilles ont pour ordre n1 , . . . , nk . Alors K 2−nk ≤ 1. k=1 28 ` CHAPITRE 3. CODAGE DES SOURCES DISCRETES Et si l’arbre est binaire strict, on a K 2−nk = 1. k=1 preuve : Nous d´finissons

. . . . . . . . . . . . A.4 Article ACC’12 . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Article JRNC’13 . . . . . . . . . . . . . . A.6 Article en version préliminaire . . . . . . . A.7 Démonstrations supplémentaires . . . . . . A.7.1 Démonstration du Lemme 1 . . . . A.7.2 Démonstration de la Proposition 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

polynôme de meilleure approximation (au sens de la ||.||∞ ) pourra prendre en les points xi des valeurs yi ̸=f (xi ). Voir gure 1.1. D'ailleurs, noter que le polynôme réalise norme points norme 15 16 1.8. * Erreur d'interpolation pour la norme Lemme 1.39 Ln L'application ||.||∞ dénie en (1.25) est linéaire. Preuve. Si f et g sont continues sur [a, b], et si α ∈ R, alors le polynôme Ln (f +αg) prend les Ln (f +αg)(xi ) = (f +αg)(xi ) = f (xi ) + αg(xi ) = Ln (f )(xi )+αLn (g)(xi ) aux points

d'angle α de la sphère (de rayon r) Sr de R/ 3 , la partie de celleci comprise entre deux demi grands cercles de mêmes extrémités ayant pour supports deux droites sphériques s'intersectant avec l'angle α (cf figure 34). 38 zA M o y x A' figure 34 Lemme: Soit Aire(F) l'aire du fuseau d'angle α de Sr: Aire(F) = 2α r² Démonstration: en utilisant le système de coordonnées indiqué sur la figure 34, les points communs des deux arcs étant pris comme points de coordonnées (r,0,0) et (-r,0,0), et l'un des

rendement espéré instantané de l’actif sous-jacent ; - ? le taux de dividende continu ; - ? 2 est la variance instantanée du rendement des actifs ; - ? est un processus de Wiener. En l’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA), le lemme d’Itô nous permet d’écrire tout produit dérivé V, sous la forme de l’équation différentielle partielle (EDP) comme suit : 1 2 2 ? ? ??? + ? − ? ??? + ?? = ?? 2 ? Où ? représente l’option et, ? le taux sans risque, ?? la dérivée de V par rapport

(Cas des graphes non orientés) Si G = (S,A) est un graphe non orienté, on parlera de chaîne au lieu de chemin, et de cycle au lieu de circuit. Dans le cas d'un cycle, toutes les arêtes doivent être distinctes. Un graphe sans cycle est dit acyclique. Lemme 1.13 (de König) Dans un graphe, s'il existe un chemin/chaîne d'un sommet u vers un sommet v, alors il existe un chemin élémentaire de u vers v. La notion de longueur de chemin nous permet ensuite de dé�nir la notion de distance dans un graphe. Dé�nition

th´or`me de point e e e 32 fixe. On dit qu’une application f d’un ensemble X vers lui-mˆme admet un point e fixe si x0 ∈ X est sa propre image par f : x0 = f (x0 ). Consid´rons l’application r(s) = (r1 (s−1 ), · · · , rn (s−n )) de S vers S. On a: e Lemme 1 Si l’application r(s) poss`de un point fixe, ce point est un ´quilibre de e e Nash du jeu, et r´ciproquement. e e 1. Supposons que s∗ soit un ´quilibre de Nash. Alors, pour tout i = 1, · · · n on a s∗ = ri (s∗ ) ce qui implique que s∗ soit un point

´videmment vraie. e Fixons ε > 0. Puisque la suite (xn ) tend vers a il existe un entier N tel que si n ≥ N alors ε ε e |xn − a| < 2 . De mˆme il existe N tel que si n ≥ N alors |yn − b| < 2 . Alors si n ≥ max(N, N ) on a |zn − | ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε. Lemme 3.5.1 (In´galit´ triangulaire) Pour tout z, z ∈ C on a les in´galit´s e e e e ||z| − |z || ≤ |z − z | ≤ |z| + |z |. D´monstration. Posons z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x , y r´els. L’in´galit´ |z − z | ≤ e e e e |z| + |z | s’´crit e (x − x )2